第1章 绪论
　　1.1 数值分析的研究对象
　　数值分析是数学学科的一个分支，也称数值计算方法或计算方法.它主要研究科学与工程技术中数学问题的数值解及其理论.当今世界计算机已被广泛使用，因此数值分析所研究的应该是适合于计算机上使用的计算方法及其误差分析、收敛性和稳定性等问题.数值分析把数学理论与计算机应用紧密结合起来，既有纯数学的高度抽象性和严谨性，又有应用的广泛性和实验的高度技术性.
　　一般地，用计算机进行科学与工程计算时要经历如下过程：
　　实际问题→建立数学建模→设计实用的数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果
　　可见，数值分析是科学与工程计算过程中必不可少的环节，它以纯数学为基础，但不只研究数学本身的理论，而着重研究解决问题的数值方法及效果，如怎样使计算速度*快、存储量*少等，以及数值方法的收敛性、稳定性和误差分析等.
　　数值分析是一门与计算机紧密结合的实用性很强的有着自身研究方法与理论系统的计算数学课程.数值分析以计算机为工具，以数值代数（线性方程组的解法、矩阵特征值及特征向量的计算、非线性方程及方程组的解法）、数值逼近（各种函数逼近问题数值解、数值微分、数值积分）和微分方程的数值解法等为研究内容.
　　*近半个世纪科学研究的实践使人们越来越清楚地认识到，当代科学研究方法应该由实验、科学计算及理论三大环节组成.也就是说，科学计算已成为一种新的科学研究方法.因此，作为科学计算的主体—数值分析也就越来越被人们所重视.
　　随着电子计算机的普及与发展，数值计算已成为科学研究与工程设计中必不可少的重要手段.在科学计算与计算机技术飞速发展的今天，学习、掌握数值计算方法并会用电子计算机来解决科研与工程实际中的数值计算问题，已成为广大科技与工程技术人员的迫切需要.
　　1.2 误差的来源
　　在工程技术的计算中，估计计算结果的精确度是十分重要的工作，而影响精确度的是各种各样的误差，误差按照它们的来源可分为以下四种.
　　1.模型误差
　　反映实际问题有关量之间的计算公式，即数学模型，通常只是近似的，由此产生的数学模型的解与实际问题的解之间的误差称为模型误差.
　　2.观测误差
　　数学问题中总包含一些参量，它们的值往往是由观测得到的，而观测不可能绝对准确，由此产生的误差称为观测误差.
　　3.截断误差
　　由于根据实际问题建立起来的数学模型在很多情况下很难得到准确解，通常要用数值方法求它的近似解，如用有限过程逼近无限过程，用能计算的问题代替不能计算的问题.这种数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差称为截断误差.截断误差是数值方法所固有的，也称方法误差.
　　求一个收敛的无穷级数之和，总是用它的部分和作为近似值，也就是截去该级数后面的无穷多项.
　　例如，由Taylor（泰勒）公式，函数可表示为
　　为了简化计算，当不大时，去掉上式的*后一项，得近似公式
　　此近似公式的误差就是截断误差.
　　4.舍入误差
　　在计算过程中往往要对数字进行舍入，例如，受机器字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成一定的位数.这样产生的误差称为舍入误差.
　　在数值计算中，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响，一般不考虑模型误差和观测误差.
　　1.3 绝对误差、相对误差与有效数字
　　1.3.1 绝对误差与相对误差
　　定义1.1 设是准确值的一个近似值，称
　　（1.1）
　　为近似值的绝对误差，简称误差.
　　注1.1 绝对误差是有量纲的.
　　的大小标志着的精度.一般地，在同一量的不同近似中，越小，的精度越高.
　　一般情况下，准确值难以求出，从而也不能算出绝对误差的准确值，但可以根据测量工具或计算情况估计出它的取值范围.即估计出误差绝对值的一个上界，
　　（1.2）
　　称为近似值的绝对误差限或绝对误差界，简称误差限或误差界.
　　有了误差限和近似值，就可以得到准确值的范围为
　　（1.3）
　　或记为.
　　绝对误差的大小在很多情况下还不能完全刻画一个近似值的精确程度.例如，在测量飞机机翼的长度时发生1mm的误差，与在测量飞机机翼的厚度时发生1mm的误差，虽然两者的绝对误差是一样的，但它们决定近似值的精确程度却是不一样的.因此，要评价一个近似值的精确程度，除了要看它的绝对误差的大小之外，还必须要考虑该数值本身的大小，这就需要引入相对误差的概念.
　　定义1.2设是准确值的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值的相对误差，记为，即
　　（1.4）
　　注1.2相对误差反映了一个近似值的精确程度.相对误差越小，的精确程度越高.相对误差是没有量纲的量，一般用百分数表示.
　　由于在计算过程中准确值总是未知的，也常常将相对误差定义为
　　（1.5）
　　同样，相对误差也只能估计其上限.若存在正数，使得
　　（1.6）
　　则称为的相对误差限.
　　显然，误差限与近似值的绝对值之比为的一个相对误差限.
　　容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超过被保留的*后数位上的半个单位，即*后数位上的半个单位为其误差限.
　　例如，若取的近似值为3.14，则
　　若取的近似值为3.142，则
　　例1.1 设是分别由准确值x和y经过四舍五入而得到的近似值，求绝对误差限和相对误差限.
　　解
　　1.3.2 有效数字
　　有效数字是近似值的一种表示法，它既能表示其大小，又能表示其精确程度.
　　定义1.3 若x的某一近似值的绝对误差限是它的某一位数字的半个单位，则称其“准确”到这一位，且从该位直到的第一位非零数字共有q位，则称近似值有q位有效数字.
　　例如，取的近似值为1.7321.因为
　　所以的近似值1.7321准确到小数点后第4位，它具有5位有效数字.
　　非零数总可以写成
　　其中：m为整数；为0～9中的一个数字，.若作为数的近似值，且
　　（1.7）
　　则称近似值有n位有效数字.
　　例如，若是具有7位有效数字的近似值，则它的误差限为
　　从有效数字的定义可知，由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字.同一个准确值的不同近似值，有效数字越多，其绝对误差和相对误差都越小.
　　例1.2 下列近似值的绝对误差限都是0.005：
　　问各个近似值分别有几位有效数字？
　　解 a有3位有效数字2，6，7；b有1位有效数字2；c没有有效数字.
　　下面的定理给出了相对误差限与有效数字的关系.
　　定理1.1 若x的近似值有n位有效数字，则为其相对误差限；反之，若的相对误差限满足
　　（1.8）
　　则至少有n位有效数字.
　　证明由式（1.7）有
　　从而有
　　所以是的相对误差限.
　　若，则由式（1.5）有
　　由式（1.7）知，至少有n位有效数字.
　　定理1.1 表明，由有效数字位数可以求出相对误差限.例如，是具有3位有效数字的近似值，故其相对误差限为
　　例1.3 要使近似值的相对误差小于1%，应取几位有效数字？
　　解由于，的首位非零数字是4，即设近似数有n位有效数字，只需取n使得
　　即
　　由上式解得.只要取，即取3位有效数字，近似值的相对误差就小于1%.
　　1.4 误差的传播
　　1.4.1 一元函数计算误差的传播
　　设存在足够高阶的导数，是自变量的近似值，则是函数值的近似值.若且比值不很大，则由Taylor公式可得的估计误差为
　　（1.9）
　　因为
　　所以
　　（1.10）
　　若，且比值不很大，则的误差估计为
　　（1.11）
　　（1.12）
　　1.4.2 多元函数计算误差的传播
　　设 n元函数充分可微，是的近似值，则是函数值的近似值.由多元函数Taylor公式可得的误差估计为
　　（1.13）
　　（1.14）
　　（1.15）
　　由式（1.13）可得四则运算结果的误差估计.设和分别是准确值和的近似值，则分别是的近似值，由式（1.13）和式（1.15）可得
　　（1.16）
　　（1.17）
　　（1.18）
　　（1.19）
　　（1.20）
　　（1.21）
　　由式（1.14）可得四则运算后的误差限分别为
　　（1.22）
　　（1.23）
　　（1.24）
　　例1.4 设有三个近似数，它们都有3位有效数字，试求

目录
第1章 绪论 1
1.1 数值分析的研究对象 1
1.2 误差的来源 1
1.3 绝对误差、相对误差与有效数字 2
1.3.1 绝对误差与相对误差 2
1.3.2 有效数字 4
1.4 误差的传播 5
1.4.1 一元函数计算误差的传播 5
1.4.2 多元函数计算误差的传播 6
1.5 在近似计算中需要注意的一些问题 7
1.5.1 算法的数值稳定性 7
1.5.2 数值算法设计的若干原则 9
习题1 12
第2章 解线性方程组的直接方法 14
2.1 引言 14
2.2 Gauss消元法 15
2.2.1 Gauss消元法的基本思想 15
2.2.2 Gauss消元法的计算公式 15
2.2.3 Gauss消元法的计算量 19
2.3 选主元素的Gauss消元法 20
2.3.1 列主元消元法 20
2.3.2 全主元消元法 21
2.4 Gauss-Jordan消元法 23
2.4.1 Gauss-Jordan消元法的过程 23
2.4.2 方阵求逆 24
2.5 直接三角分解法 25
2.5.1 Gauss消元法的矩阵形式 25
2.5.2 矩阵的三角分解 26
2.5.3 直接三角分解法的计算公式 29
2.6 平方根法与改进的平方根法 31
2.6.1 平方根法 31
2.6.2 改进的平方根法 34
2.7 追赶法 36
2.8 方程组的性态与误差分析 38
2.8.1 向量与矩阵的范数 38
2.8.2 条件数与病态方程组 41
2.8.3 误差分析 44
2.8.4 病态方程组的求解 45
2.9 应用举例 46
习题2 48
第3章 解线性方程组的迭代法 50
3.1 迭代法概述 50
3.1.1 向量序列与矩阵序列的收敛性 50
3.1.2 迭代法的一般形式 51
3.2 几种常用的迭代法 52
3.2.1 Jacobi迭代法 52
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法 54
3.2.3 松弛法 55
3.3 迭代法的收敛条件及误差分析 57
3.3.1 矩阵的谱半径 57
3.3.2 迭代法的收敛条件 59
3.3.3 误差估计 63
3.4 应用举例 64
习题3 66
第4章 非线性方程与方程组的数值解法 68
4.1 二分法 68
4.2 迭代法 70
4.2.1 迭代法的基本思想 70
4.2.2 不动点迭代法及其几何意义 70
4.2.3 迭代法的收敛条件 73
4.2.4 迭代法收敛速度 76
4.2.5 Steffensen方法—简单迭代法的加速 77
4.3 Newton迭代法与弦截法 78
4.3.1 Newton迭代法 78
4.3.2 弦截法 81
4.4 抛物线法 82
4.5 非线性方程组的求根 83
4.5.1 不动点迭代法 83
4.5.2 Newton迭代法 85
4.6 应用举例 87
习题4 89
第5章 插值法 91
5.1 插值问题与插值多项式 91
5.1.1 插值问题 91
5.1.2 插值多项式 91
5.2 Lagrange插值 93
5.2.1 线性插值 93
5.2.2 二次插值 94
5.2.3 n次插值 95
5.3 Newton插值 97
5.3.1 差商及其性质 97
5.3.2 Newton插值公式 99
5.3.3 差分及其性质 102
5.3.4 等距节点插值公式 104
5.4 Hermite插值 105
5.4.1 Hermite插值公式 105
5.4.2 Hermite插值的**性及余项 107
5.4.3 Hermite插值的一般形式 109
5.5 分段低次插值 110
5.5.1 高次多项式插值的Runge现象 110
5.5.2 分段线性插值 111
5.5.3 分段Hermite插值 113
5.6 三次样条插值 113
5.6.1 样条插值函数的定义 114
5.6.2 三弯矩插值法 115
5.6.3 误差限与收敛性 118
5.7 应用举例 118
习题5 120
第6章 函数逼近与曲线拟合 123
6.1 预备知识 123
6.1.1 权函数与内积 123
6.1.2 正交性 124
6.2 常用的正交多项式 126
6.2.1 Legendre多项式 126
6.2.2 第一类Chebyshev多项式 127
6.2.3 第二类Chebyshev多项式 128
6.2.4 Laguerre多项式 129
6.3 函数的*佳平方逼近 130
6.3.1 *佳平方逼近函数及其求法 130
6.3.2 基于正交函数的*佳平方逼近 133
6.4 曲线拟合的*小二乘法 134
6.4.1 问题描述与求解 134
6.4.2 多项式拟合 138
6.4.3 几种具体的拟合曲线类型 140
6.4.4 用正交多项式作曲线拟合 142
6.5 应用举例 143
习题6 145
第7章 数值积分与数值微分 148
7.1 求积公式 148
7.1.1 数值积分的基本思想 148
7.1.2 插值型求积公式 149
7.1.3 代数精度 150
7.2 Newton-Cotes求积公式 151
7.2.1 Newton-Cotes公式介绍 151
7.2.2 常见的Newton-Cotes公式 152
7.2.3 Newton-Cotes公式的截断误差 153
7.3 复化求积公式 155
7.3.1 复化梯形公式 155
7.3.2 复化Simpson公式 156
7.3.4 逐次分半算法 158
7.4 Romberg积分法 161
7.4.1 Richardson外推法 161
7.4.2 Romberg求积公式 162
7.5 Gauss型求积公式 164
7.5.1 一般理论 164
7.5.2 常用的Gauss型求积公式 167
7.6 数值微分 171
7.6.1 差商型求导公式 171
7.6.2 插值型求导公式 173
7.6.3 Taylor展开法 176
7.6.4 数值微分的外推算法 177
7.7 应用举例 178
习题7 179
第8章 常微分方程的数值解法 181
8.1 Euler方法与向后Euler方法 183
8.1.1 Euler方法 183
8.1.2 Euler方法的误差估计 184
8.1.3 向后Euler方法 185
8.2 梯形方法与改进的Euler方法 186
8.2.1 梯形方法 186
8.2.2 改进的Euler方法 187
8.3 Runge-Kutta方法 189
8.3.1 Runge-Kutta方法的构造思想 189
8.3.2 显式Runge-Kutta方法 190
8.3.3 隐式Runge-Kutta方法 193
8.4 单步法的相容性、收敛性与稳定性 194
8.4.1 相容性 194
8.4.2 收敛性 195
8.4.3 稳定性 196
8.5 线性多步法 198
8.5.1 线性多步法的导出 198
8.5.2 常用的线性多步法 199
8.5.3 预测-校正方法 201
8.6 一阶常微分方程组与高阶微分方程 203
8.6.1 一阶微分方程组的数值解法 203
8.6.2 高阶微分方程的数值解法 204
8.7 应用举例 205
习题8 207
第9章 矩阵特征值与特征向量的计算 209
9.1 预备知识 209
9.2 幂法与反幂法 211
9.2.1 幂法 211
9.2.2 幂法的加速 214
9.2.3 反幂法 216
9.3 Jacobi方法 219
9.4 Householder方法 225
9.4.1 Householder 变换 225
9.4.2 化矩阵为上Hessenberg阵 226
9.4.3 对称三对角矩阵的特征值计算 230
9.4.4 对称三对角矩阵特征向量的计算 232
9.5 QR方法 232
9.5.1 矩阵的QR分解 233
9.5.2 QR方法及其收敛性 234
9.5.3 带原点平移的QR方法 236
9.6 应用实例 237
习题9 238
第10章 MATLAB数学软件与数值计算 240
10.1 MATLAB介绍 240
10.2 MATLAB数值处理简介 241
10.2.1 向量及其运算 241
10.2.2 矩阵及其运算 242
10.3 MATLAB程序设计入门 243
10.3.1 运算符与操作符 243
10.3.2 M文件简介 245
10.3.3 程序结构与控制 246
10.4 MATLAB绘图功能简介 249
10.4.1 MATLAB的图形窗口 249
10.4.2 基本二维图形绘制 250
10.4.3 绘图辅助函数—坐标轴和标注 252
10.4.4 多窗口绘图函数 254
10.5 线性方程组的数值解法 256
10.5.1 直接法 256
10.5.2 迭代法 261
10.6 非线性方程求根 262
10.6.1 二分法 262
10.6.2 Newton法 263
10.7 插值方法 263
10.7.1 Lagrange插值 263
10.7.2 Newton插值 265
10.8 数据拟合与函数逼近 266
10.8.1 多项式数据拟合 266
10.8.2 非线性拟合 267
10.8.3 *佳平方逼近 268
10.9 数值积分 269
10.9.1 非复化的数值积分 269
10.9.2 复化的数值积分 270
10.10 常微分方程初值问题数值解 271
10.10.1 单步法 271
10.10.2 线性多步法 274
10.11 方阵的特征值与特征向量 275
10.11.1 幂法 275
10.11.2 Jacobi方法 276
参考文献 278