第1章 数学建模概述
今天，人类社会正处在由工业化社会向信息化社会过渡的变革时期.以数字化为特征的信息社会有两个显著特点：计算机技术的迅速发展与广泛应用;应用数学向一切领域的渗透.随着计算机技术的飞速发展，科学计算的作用越来越引起人们的广泛重视，它已经与科学理论和科学实验并列，成为人们探索和研究自然界、人类社会的三大基本方法.为了适应这种社会的变革，培养和造就出一批又一批适应高度信息化社会具有创新能力的高素质的工程技术和管理人才，在各高校开设“数学建模”课程，培养学生的科学计算能力和创新能力，就成为这种新形势下的历史必然.
数学建模是运用数学的思想方法、数学的语言去近似地刻画一个实际研究对象，构建一座沟通现实世界与数学世界的桥梁，并以计算机为工具应用现代计算技术达到解决各种实际问题的目的.因此数学建模课程教学对于开发学生的创新意识，提升学生的数学素养，培养学生创造性地应用数学工具解决实际问题的能力，有着独特的功能.
数学建模过程就是一个创造性的工作过程.人的创新能力首先是创造性思维和具备创新的思想方法.数学本身是一门理性思维科学，数学教学正是通过各个教学环节对学生进行严格的科学思维方法的训练，从而引发学生的灵感思维，达到培养学生创造性思维的能力目的.同时数学又是一门实用科学，它能直接用于生产和实践，解决工程实际中提出的问题，推动生产力的发展和科学技术的进步.学生参加数学建模活动，首先要了解问题的实际背景，深入到具体学科领域的前沿，这就需要学生具有能迅速查阅大量科学资料，准确获得自己所需信息的能力;同时，不但要求学生必须了解现代数学各门学科知识和各种数学方法，把所掌握的数学工具创造性地应用于具体的实际问题，构建其数学结构，而且要求学生熟悉各种数学软件，熟练地把现代计算机技术应用于解决当前实际问题综合能力，然后还要求学生具有把自己的实践过程和结果叙述成文字的写作能力.在数学建模全过程的各个环节，学生们进行着创造性的思维活动，模拟了现代科学研究过程.“数学建模”课程的教学和数学建模活动极大地开发了学生的创造性思维的能力，培养学生在面对错综复杂的实际问题时，具有敏锐的观察力和洞察力，以及丰富的想象力.
1.1 数学模型的定义与分类
1.1.1 从现实到模型
人类生活在丰富多彩、变化万千的现实世界里，无时无刻不在运用智慧和力量去认识、利用、改造这个世界，从而不断地创造出日新月异、五彩缤纷的物质文明和精神文明.博览会常常是集中展示这些成果的场所之一，那些五光十色、精美绝伦的展品给我们留下了深刻的印象.工业博览会上，豪华、舒适的新型汽车叫人赞叹不已;农业博览会上，硕大、新鲜的各种水果令人流连忘返;科技展览厅里，大型水电站模型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，清晰的数字和图表显示着电力工业的迅速发展，和整面墙壁一样大的地图上鲜明地标出了新建的铁路和新辟的航线，核电站工程的彩色巨照前，手持原子结构模型的讲解员深入浅出地介绍反应堆的运行机理;电影演播室里，播放着一部现代化炼钢厂实现生产自动控制的科技影片，其中既有火花四溅的钢坯浇铸情景，也有展示计算机管理和控制的框图、公式和程序.
参观博览会，像汽车、水果那些原封不动地从现实世界搬到展厅里的物品固然给人以亲切真实的感受，可是从开阔眼界、丰富知识的角度看，电站、卫星、铁路、钢厂 这些在现实世界被人们认识、建造、控制的对象，以它们的各种形式的模型——实物模型、照片、图表、公式、程序等汇集在人们面前，这些模型在短短几小时里所起的作用，恐怕是置身现实世界多少天也无法做到的.
与形形色色的模型相对应，它们在现实世界里的原始参照物通称为原型.
原型和模型原型(prototype)和模型(model)是一对对偶体.原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象.在科技领域通常使用系统(system)、过程(process)等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统，又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等.本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型.模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物.
这里特别强调构造模型的目的性.模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次.一个原型，为了不同的目的可以有许多不同的模型.如放在展厅里的飞机模型应该在外形上逼真，但是不一定会飞.而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求.至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟，则只要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特性，毫不涉及飞机的实体.所以模型的基本特征是由构造模型的目的决定的.
我们已经看到模型有各种形式.用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型(形象模型)和理想模型(抽象模型).前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等.
直观模型 指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真.这类模型的效果是一目了然的.
物理模型 主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律.如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能，风洞中的飞机模型用来实验飞机在气流中的空气动力学特性.有些现象直接用原型研究非常困难，更可借助于这类模型，如地震模拟装置、核爆炸反应模拟设备等.应注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性.物理模型常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点.
思维模型 指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接贮存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策.如汽车司机对方向盘的操纵、一些技艺性较强的工种(如钳工)的操作，大体上是靠这类模型进行的.通常说的某些领导者凭经验作决策也是如此.思维模型便于接受，也可以在一定条件下获得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人们的相互沟通.
符号模型 是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型.如地图、电路图、化学结构式等，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点.
本书要专门讨论的数学模型则是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.
1.1.2 什么是数学模型
其实你早在学习初等数学的时候就已经碰到过数学模型了.当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的.譬如你一定解过这样的所谓“航行问题”.
甲乙两地相距750 km，船从甲到乙顺水航行需30 h，从乙到甲逆水航行需50h，问船速、水速各若干?
用x， y分别代表船速和水速，可以列出方程
实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型.列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题.方程的解x=20 km/h，y=5 km/h，*终给出了航行问题的答案.
当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型的基本内容已经包含在解这个代数应用题的过程中了.那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设(航行中设船速和水速为常数);用字母表示待求的未知量(x， y 代表船速和水速);利用相应的物理或其他规律(匀速运动的距离等于速度乘以时间)，列出数学式子(二元一次方程);求出数学上的解答(x=20， y=5);用这个答案解释原问题(船速和水速分别为20 km/h 和5 km/h);*后还要用实际现象来验证上述结果.
一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.
例1.1 航行问题的数学模型，是一个二元一次线性方程组模型.
例1.2 阻滞增长模型(Logistic 模型)，是一个一阶常微分方程模型.
例1.3 下面是中学阶段就接触过的一个线性规划模型.
1.1.3 数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种.
(1)按照模型的应用领域(或所属学科)分，如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等.范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等.
(2)按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分，如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、数学规划模型等.
(3)按照模型的表现特性又有几种分法.
确定性模型和随机性模型，取决于是否考虑随机因素的影响.近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型.
静态模型和动态模型，取决于是否考虑时间因素引起的变化.
线性模型和非线性模型，取决于模型的基本关系，如微分方程是不是线性的.
离散模型和连续模型，指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散的还是连续的.
虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定的、静态的、线性的模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定的、静态的、线性的模型.连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要根据具体问题而定.在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续的，也是常采用的方法.
(4)按照建模目的分，有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等.
(5)按照对模型结构的了解程度分，有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型.这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙.白箱主要包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了.灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做.至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象.有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理.当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的.
1.2 数学建模的方法和步骤
数学建模(mathematical modeling)就是建立数学模型的全过程，简称建模.数学建模包括非常丰富的内容，我们将从建模的基本方法、建模的一般步骤、简单的建模示例、建模的特点和作用来说明.
1.2.1 数学建模的基本方法
数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段.其所面临的实际问题也是多种多样的.由于数学建模的目的的多样性、分析方法的广泛性，以及采取的数学工具的全面性.所以我们可以得到的模型的类型也是多种多样的.所以数学建模的方法并不唯一，适用于一切问题的数学建模方法也是不存在的.接下来我们只是从方法论的意义上来谈论.
数学建模的解答方法分为机理分析和测试分析两种.机理分析方法根据对所研究客观对象特征的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理意义或者其他的实际意义.
在对所研究的对象内部机理不清楚时，常常采用测试分析的方法，通过对系统输入、输出
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