第11章 无穷级数
　　无穷级数是微积分学的进一步发展，并成为微积分学的重要组成部分。它在数学的理论和方法中占据重要的地位，在科学技术与工程的许多领域也有广泛的应用。
　　本章首先讨论复常数项级数的基本概念和性质，接着讨论正项级数、交错级数和任意项级数的审敛，然后依次讨论幂级数、Taylor级数、Laurent级数和Fourier级数。
　　11.1 常数项级数
　　11.1.1 复数列的极限
　　设{an}是一复数列，又设a=a+ib为一确定的复数，若，使得当n>N时。
　　则说a是复数列{an}当，时的极限，记作liman=a。此时也称复数列{an}收敛于a。
　　我们把实数列{an}和{bn}分别称为对应于复数列{dn}的实部数列和虚部数列。
　　定理1设，则liman=a的充要条件是liman=a且limbn=b。
　　证明 由an-a=(an-a) +i(bn -b)知
　　若liman=a，则，使得当n>N时
　　故有
　　即liman=a，同理，有limbn=b。
　　反之，若liman=a且limbn=b，则，使得当n>N，时，又使得当n>N2时，取N=max( N1，N，2)，则当n>N时，
　　故liman=a。
　　定理1指出一个复数列‰）收敛于a=a+ib的充要条件是它的实部数列{an}和虚部数列{bn}分别收敛于a和b，它使复数列的极限问题可以归结为实数列的极限问题。
　　判定实数列收敛的Cauchy准则也可推广到复数列。
　　定理2（Cauchy准则） 复数列{an}收敛的充分且必要条件是Ve>0，N，使得当n>N时，
　　对一切自然数p成立。
　　证明留给读者自行完成，
　　实数列极限的基本性质如极限的四则运算、无穷小量的运算性质等对复数列极限也成立。
　　11.1.2 级数的概念
　　给定数列（它可以是实数列，也可以是复数列）：
　　称形式和
　　为无穷级数，简称级数(series)，记为，即
　　其中a1称为级数的首项，第咒项an称为级教的通项或一般项，
　　称为级数前n项和或部分和，当n依次取1，2，3， 时，可得一个新的序列
　　称{Sn}为部分和序列；反之，有了部分和序列{Sn}，由an=Sn-Sn-1，可得到原数列

目录
第11章 无穷级数 1
11.1 常数项级数 1
11.1.1 复数列的极限 1
11.1.2 级数的概念 2
11.1.3 无穷级数的性质 4
习题 11.1 8
11.2 正项级数及其审敛 8
习题11.2 15
11.3 交错级数与任意项级数 16
11.3.1 交错级数及其收敛判别法 16
11.3.2 绝对收敛与条件收敛 18
习题11.3 23
11.4 函数项级数 24
11.4.1 函数项级数和一致收敛 24
11.4.2 复函数项级数的性质 26
习题11.4 30
11.5 幂级数 30
11.5.1 幂级数的概念与Abel定理 30
11.5.2 幂级数的收敛圆和收敛半径 32
11.5.3 实幂级数及其收敛区间 34
11.5.4 幂级数的运算性质 36
习题11.5 40
11.6 Taylor级数与函数的幂级数展开 41
11.6.1 Taylor级数 42
11.6.2 函数展开为幂级数 44
11.6.3 实函数的幂级数展开与Taylor公式 49
习题11.6 52
11.7 Laurent缀数 53
11.7.1 含负幂的幂级数 53
11.7.2 Laurent级数 54
11.7.3 把环形域的解析函数展开为Laurent级数 57
习题11.7 59
11.8 Fourier级数 60
11.8.1 三角函数系在空间L2[-π，π]的正交性 60
11.8.2 函数展开为Fourier级数 64
11.8.3 函数展开为正弦级数或余弦级数 69
11.8.4 一般周期函数的Fourier级数 72
11.8.5 Fourier级数的复数形式 76
习题11.8 79
第11章 综合练习题 80
第12章 留数 83
12.1 孤立奇点 83
12.1.1 孤立奇点及其分类 83
12.1.2 解析函数在孤立奇点处的极限性态 85
12.1.3 解析函数的零点与极点的关系 86
12.1.4 函数在无穷远点的性态 89
习题12.1 91
12.2 留数与留数定理 92
12.2.1 留数的概念与计算 92
12.2.2 留数定理 97
12.2.3 外部区域的留数定理 99
12.2.4 留数定理的推广 101
习题12.2 105
12.3 留数在计算积分的应用 106
12.3.1 计算围道积分 106
12.3.2 计算形如的积分 107
12.3.3 计算形如f(x)如的积分 109
12.3.4 计算形如的积分 110
12.3.5 积分路径上有极点的积分 113
习题12.3 115
12.4 幅角原理和Rouche定理 115
12.4.1 对数留数 115
12.4.2 幅角原理 117
12.4.3 Rouche定理 119
习题12.4 121
第12章 综合练习题 122
第13章 积分变换 123
13.1 Fourier变换 123
13.1.1 Fourier变换的概念 123
13.1.2 单位脉冲函数及其Fourier变换 128
13.1.3 Fourier余弦变换和正弦变换 135
习题13.1 137
13.2 Fourier变换的性质 138
13.2.1 Fourier变换的若干基本性质 138
13.2.2 卷积定理 143
13.2.3 微分性质和积分性质 146
习题13.2 148
13.3 Laplace变换 149
13.3.1 Laplace变换的概念 150
13.3.2 Laplace变换存在定理 151
13.3.3 Laplace逆变换 155
习题13.3 158
13.4 Laplace变换的性质 159
13.4.1 Laplace变换的若干基本性质 159
13.4.2 Laplace变换的微分性质与积分性质 161
13.4.3 Laplace变换的卷积定理 165
习题13.4 168
13.5 Fourier变换与Laplace变换的应用 169
13.5.1 求解微分方程的积分变换法 169
13.5.2 求解积分方程和卷积型方程 174
13.5.3 利用积分变换计算积分 179
13.5.4 Fourier变换在频谱分析的应用 181
13.5.5 线性系统的传递函数 183
13.5.6 关于积分变换的若干注记 187
习题13.5 190
第13章 综合练习题 191
第14章 数学物理方程 193
14.1 基本方程和定解条件的推导 193
14.1.1 热传导方程及其定解条件 193
14.1.2 电磁场方程 197
14.1.3 传输线方程 199
14.1.4 定解问题的提法 201
习题14.1 203
14.2 分离变量法与特征函数 203
14.2.1 齐次方程和齐次边界条件的定解问题的求解 204
14.2.2 非齐次方程齐次边界条件的定解问题的求解 209
14.2.3 非齐次边界条件的处理 215
习题14.2 218
14.3 Sturm Liouville理论介绍 Bessel函数和Legendre多项式 220
14.3.1 Sturm Liouville理论介绍 220
14.3.2 Bessel函数介绍 228
14.3.3 Legendre多项式介绍 233
习题14.3 236
14.4 极坐标系下的分离变量法（二维方程的分离变量法） 237
14.4.1 圆域内二维Laplace方程的定解问题 237
14.4.2 环形域上Poisson方程的边值问题的求解举例 242
习题14.4 245
14.5 波动方程 245
14.5.1 维波动方程的D' Alembert公式 245
14.5.2 积分变换法推导D' Alembert公式 247
14.5.3 三维波动方程的Poisson公式 248
14.5.4 泊松公式的物理意义 253
习题14.5 255
14.6 Green函数 255
14.6.1 Laplace方程的Green函数 255
14.6.2 球域的Green函数 258
14.6.3 基本解 259
习题14.6 260
部分习题参考答案 261
参考文献 274
附录I Fourier变换简表 275
附录Ⅱ Laplace变换简表 279
附录Ⅲ 数学实验纲要 283
索引 285