陈省身（Shiing Shen Chern），1911年10月28日生于浙江嘉兴秀水县，美籍华裔数学大师，中国科学院外籍院士。陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。在长期从事微分几何教学和研究的基础上，撰写和出版了微分几何类的系统教材，包括本科生和研究生所用的各种教材，如《微分几何讲义》（与陈省身合著），《黎曼几何选讲》（与伍鸿熙合著），《微分几何初步》，《微分几何》，《微分流形初步》和《极小曲画》等。

第一章 微分流形

1 微分流形的定义

2 切空间

3 子流形

4 Frobenius定理

第二章 多重线性代数

1 张量积

2 张量

3 外代数

第三章 外微分

1 张量丛

2 外微分

3 外微分式的积分

4 Stokes公式

第四章 联络

1 矢量丛上的联络

2 仿射联络

3 标架丛上的联络

第五章 黎曼流形

1 黎曼几何的基本定理

2 测地法坐标

3 截面曲率

4 Gauss-Bonnet定理

第六章 李群和活动标架法

1 李群

2 李氏变换群

3 活动标架法

4 曲面论

第七章 复流形

1 复流形

2 矢量空间上的复结构

3 近复流形

4 复矢量丛上的联络

5 Hermite流形和Kahler流形

第八章 Finsler几何

1 引言

2 射影化切丛PTM的几何与Hilbert形式

3 Chern联络

3.1 联络的确定

3.2 Cartan张量与黎曼几何的特征

3.3 联络形式在局部坐标系下的表达式

4 结构方程和旗曲率

4.1 曲率张量

4.2 旗曲率和Ricci曲率

4.3 特殊的Finslet空间

5 弧长的第一变分公式和测地线

6 弧长的第二变分公式和Jacobi场

7 完备性和Hopf-Rinow定理

8 Bonnet-Myers定理和Synge定理

附录一 欧氏空间中的曲线和曲面

1.切线回转定理

2.四顶点定理

3.平面曲线的等周不等式

4.空间曲线的全曲率

5.空间曲线的变形

6.Gauss-Bonnet公式

7.Cohn一Vossen和Minkowski的唯一性定理

8.关于极小曲面的Bernstein定理

附录二 微分几何与理论物理

参考文献

索引