第1章行列式
行列式是研究线性代数及其他数学分支的一个重要工具. 本章主要介绍n阶行列式的概念、性质与计算方法，以及利用n阶行列式解含有狀个未知量n个方程的线性方程组的克拉默法则.
1.1n阶行列式的定义
一、二阶和三阶行列式
1. 二阶行列式
考虑二元线性方程组
(1.1)
用加减消元法解方程组(1.1)，得
当a11a22-a12a21≠0时，得到方程组(1.1)的唯一解
(1.2)
为便于记忆，引入记号
称为二阶行列式. 其中aij称为行列式的元素，其第一下标i为行标，表示该元素位于第i行，第二下标j为列标，表示该元素位于第j列，aij表示该元素为行列式第i行第j列的元素. 二阶行列式可用对角线法则来记忆. 如图1-1所示，把a11到a22的实连线称为主对角线，把a12到a21的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差.
利用二阶行列式的记法，式（1.2)中x1，x2的分子也可写成二阶行列式，即
如果行列式D≠0，则方程组(1.1)的唯一解(1.2)可表示为
其中，分母D是由方程组(1.1)的系数构成的二阶行列式(称为系数行列式);x1的分子D1是用常数项b1，b2替换D中第一列元素a，11，a21得到的二阶行列式;x2的分子D2是用常数项b1，b2替换D中第二列元素a12，a22得到的二阶行列式.
2. 三阶行列式
类似于二阶行列式，记
称为三阶行列式. 三阶行列式有6项，每项均是由不同行不同列的三个元素的乘积冠以正负号得到的，其规律遵循图1-2所示的对角线法则. 图中三条实线看成平行 于主对角线的连线，三条虚线看成平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.
二、排列与逆序数
定义1.1由n个不同的数1，2， ，n组成的一个有序数组i1i2 in成为一个n级排列，简称为排列. 构成排列的数称为排列的元素.
例如，1234和3421都是4级排列，25314是一个5级排列. 由数1，2，3共可构成6种不同的排列:123，132，213，231，312，321.
由数1，2 n构成的不同的n级排列共有n!个.
定义1.2在一个n级排列i1i2 is it in中，若数is>it，则称数is与it构成一个逆序. 一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为τ(i1i2 in).
例1计算5 级排列25314的逆序数.
解 因为2排在首位，故其逆序的个数为0;在5前面且比5大的数有0个，故其逆序的个数为0; 在3前面且比3大的数有1个，故其逆序的个数为1; 在1前面且比1大的数有3个，故其逆序的个数为3; 在4前面且比4大的数有1个，故其逆序的个数为1，即
对于n级排列n(n-1) 321. 有
在n级排列12 (n-1)n中，各数是按照由小到大的自然顺序排列的. 这一排列称为n元自然序排列. 由于其中任何一个数对都不构成逆序. 因此τ(2 (n-1)n)=0.
定义1.3逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．
例如，排列25314的逆序数是5，为奇排列；2 （n-1)n的逆序数是零，为偶排列．
定义1.4在一个排列i1i2 is it in中，如果将它的两个元素is与it互换位置，而其余元素不动，得到另一个排列i1i2 it is in. 这样的变换称为一次对换，记为（is，it）.
例如，
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