第1章度量空间
从集合论角度，利用运算封闭性将集合规定为空间，如向量空间就是关于线性组合封闭的集合。从分析学角度，通过规定集合元素之间的比较关系，将原集合赋予空间结构，如在R3中规定了欧氏距离就可以得到欧氏空间。因此可以认为数学中的空间就是规定了运算封闭性和比较关系的集合。有了空间的概念之后，我们还要研究空间与空间之间的关系，由此给出算子（或泛函）的定义。所以泛函分析以各种空间结构和空间之间的算子性质为研究对象。
将欧氏空间中的距离抽象为一般距离，欧氏空间就抽象为度量空间，度量空间保留了欧氏空间中由距离推导出的许多性质。而将度量空间中的大部分性质直接抽象，使之不依赖于距离概念，就得到“更纯粹”的拓扑空间。
1.1度量空间的拓扑结构
1.1.1拓扑空间
在本书的各种定义、命题和证明中经常用到集合论、逻辑学以及分析学的对应关系（见表1.1）。
定义1.1设X是一非空集合，X的一个子集族丁称为X的一个拓扑，如果它满足下面三个条件：
（1）
（2）
（3）
X中的子集F称为闭集，如果存在五使得F=Ec。
设集合五，点称为E的内点，如果存在某领域使得。由的内点组成的集合称为E的内部，记为五。称五G的内点为E的外点，而E的所有外点组成E的外部。既非内点，也非外点的X中的点为E的边界点，由E的边界点组成的集合称为E的边界，记为。
如果的任一邻域内都含有无穷个点属于五（或者说的任一邻域都含有异于的五中的点），则称为E的一个聚点，由E的聚点组成的集合称为导集，记为E'。如果但不是聚点，则称为E的孤立点。而E中的点称为E的接触点。这时E中的每一个点可由五中的点来接触（也就是，点的任意邻域内都含有E中的点）。借助于图1.1，可验证闭包的等价性定义
X的子集E称为稠密子集，若如果空间X有一个可数的稠密子集，则称X可分。集合其中是X的开集族，则称是E的一个开覆盖。如果E的任意开覆盖都包含E的有限开覆盖，就称E是紧致集（紧集）。
E为中的开集，的邻域且属于五，所以；是E的内点，这表明。若E是闭集，则是开集，因而不含边界。
给定X到y上的对应法则，并考虑X的某子集M，如果对任意的，存在唯一的与：对应，则称/是M上的映射，并记作，或y=f（x）。映射由法则f和M确定，M称为定义域，集合称为值域。
令N为Y的子集，称映射到的
（1）
（2）
（3）一一映射，如果/既是单射又是满射。
或者说，称映射到的
（1）
（2）
（3）
开集及其衍生的概念称为拓扑概念（见图1。2），由拓扑概念描述的性质称为拓扑性质。在拓扑空间中，我们一般不用点序列的收敛和极限的概念（即便在某些场合引入这些概念，在拓扑空间中也失去了基本的作用），拓扑空间中映射的连续性不依赖于极限的概念。
定义1.2T：
定义1.3
拓扑性质在同胚变换下具有不变性。
1.1.2度量空间
定义1.4设X是一非空集合。X上的双变量函数，对任意的，满足下面三个条件（公设）。
（1）
（2）
（3）
则称p是X上的一个度量（距离）。X或（X，p）为度量（距离）空间。
我们的讨论从定义邻域开始。称
为以为中心、为半径的（开）邻域，有时简记为。
在度量空间中，借助于邻域的概念，子集五的内点、外点、边界点、聚点、接触点、孤立点、紧致、稠密、可分等概念都可仿拓扑空间中的同名概念得到，同时采用相同的记号：内部五。外部。导集拉、闭包启等。
称E是开集，如果。称E是闭集。
度量空间上的开集族满足拓扑空间定义的三个性质，所以每一个度量空间连同其开集族都是拓扑空间。
注1.1有别于拓扑空间，度量空间中的邻域与开集的定义不同。
度量空间中的点列称为收敛列，是指存在X中的点a；使得
度量空间的子集E是完备的，如果E中的每个基本列都是收敛列。如果E中的任意点列在X中有一个收敛子列，称E是列紧集。如果这个收敛子列还收敛到E中的点，则称E是自列紧集。对全集而言，列紧就是自列紧。
设E是度量空间的一个子集，若存在和使得，则称五是有界集。
T：是度量空间（X，P）到的映射。
定义1.5
（1.1）
则称映射在点连续。如果映射T在每一点处都连续，则称T在上连续。
注1.2（1.1）
定理l.1
（1）在上（的任意一点）连续；
（2）对包含的每个邻域，必存在包含x的邻域，使得；
（3）Y中每个开集的原像是开集；
（4）对任意的和任意的，有
（1.2）
证明（1）（2）。由（1.1）知
（2）（3）
（3）（4）
也就是（1.2）成立。
（4）（1）
例1.1
（1.3）
可见它也满足距离公设（3），所以是上的距离。因此是度量空间，称为空间。
例1.2
例1.3
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