第1章 逻辑代数基础
本章首先介绍数字电路的基本概念和基本知识，然后介绍逻辑代数的基本概念、定律和规则，逻辑函数的真值表、函数表达式、卡诺图、逻辑图等的表示方法，逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法等。
1.1 数字电路概述
1.1.1 数字信号
电子电路所处理的信号分为两类，一类是模拟信号，其特性是在时间和幅值上均是连续的；另一类是数字信号，其特性是在时间和幅值上是离散的和量化的，*常用的数字信号是二值信号，分别用“0”和“1”表示两种状态。处理数字信号的电路称为数字电路，在数字电路中人们习惯用高、低电平一词来描述高、低不同的电位信号，高电平是一种状态，而低电平则是另一种不同的状态，并用“1”和“0”分别表示。由于数字信号的高、低电平在数值上有较大的差异，这就允许两个电平对标准值有一定的偏差，它们表示的都是一定的电压范围，而不是一个固定不变的数值。例如，在TTL电路中，常规定高电平的标准值为3V，低电平的标准值为0.2V；2~5V都算作高电平，0~0.8V都算做低电平，如图1.1.1所示。图中表示出了高、低电平的变化范围，当电平介于高电平的下限值2V和低电平的上限值0.8V之间时，既不满足规定的高电平要求，也不满足规定的低电平要求，一般情况下，数字逻辑电路中应尽量避免出现这种情况。数字电路工作时只要求能可靠地区分“0”或“1”两种状态，因此电路对精度要求不高，适于集成化；但超出范围是不允许的，因为这不仅会破坏电路的逻辑关系，而且还可能造成器件性能下降甚至损坏。
图1.1.1
为了讨论问题方便，数字逻辑电路中的数字信号传输波形常用理想矩形脉冲表示。实际上，一个理想跳变的数字信号是不存在的，脉冲的跳变总需要一定的时间，同时脉冲的顶部也不可能绝对平坦，在脉冲的延续时间内总会有些起伏。理想的矩形波和实际的矩形波分别如图1.1.2所示。下面介绍脉冲的几个主要参数：
(1) 脉冲幅度A：脉冲信号变化的*大值。
(2) 脉冲上升沿时间tr：从脉冲幅度A的10%上升到90%所需的时间。
(3) 脉冲下降沿时间tf：从脉冲幅度的90%下降到10%所需的时间。
(4) 脉冲宽度tp：脉冲出现后所持续的时间。因顶部与底部的宽度不同，所以tp一般指幅度A的50%之间的宽度。
(5) 正、负脉冲：正脉冲指高电平为有效信号的脉冲；负脉冲指低电平为有效信号的脉冲。如图1.1.2所示为正脉冲，其脉冲前沿为上升沿，脉冲后沿为下降沿，负脉冲正好相反。
图1.1.2 理想和实际矩形脉冲波形
1.1.2 数字电路
严格地说，数字电路包括数字脉冲电路和数字逻辑电路两部分。数字脉冲电路主要研究脉冲信号的产生、变换和测量；数字逻辑电路主要是对数字信号进行算术运算(加、减、乘、除等)和逻辑运算(“与”、“或”、“非”等)。数字逻辑电路按其功能分为组合逻辑电路和时序逻辑电路。组合逻辑电路任意时刻的输出状态仅与该时刻的输入状态有关，而与电路过去时刻的状态无关，无“记忆”功能。常用的组合逻辑部件包括各种基本门、加法器、译码器、编码器、数据选择器等。时序逻辑电路在任意时刻的输出状态不仅与该时刻的输入状态有关，而且还与电路过去时刻的状态有关，具有“记忆”功能。常用的时序逻辑部件包括触发器、计数器、寄存器等。数字逻辑电路按组成的结构分为分立元件电路和集成电路两类。分立元件电路是将独立的晶体管、电阻、电容等元器件用导线连接起来的电路；集成电路是将元器件及导线均采用半导体工艺集成制作在同一块硅芯片上，并封装于一个壳体内的电路。本书以中、小、大规模集成电路为主，强调数字集成电路的外特性，主要讨论数字电路的逻辑关系和逻辑功能，并以典型数字逻辑单元、功能部件为例，介绍数字逻辑电路的分析方法和设计方法。
1. 数字电路的特点
(1) 在数字电路中，所使用数字信号的取值只有“1”和“0”，反映在电路上就是高电平和低电平状态，分别用于代表两种对立态。
(2) 数字电路中，半导体晶体管一般都是工作在饱和区或截止区，分别对应晶体管的开、关状态。所以，数字电路结构简单，便于集成。
(3) 数字电路处理能力强，不仅可以实现各种代数运算，还可以实现逻辑运算。
在数字电路中主要研究的问题是输出与输入信号之间的逻辑关系，通过用“0”和“1”组成的代码序列来实现众多逻辑功能。因此，数字电路可对自然界中一切与二进制相关的物理量加以处理，用来对这些物理量进行逻辑或代数运算。
(4) 数字电路抗干扰能力强，可靠性高，具有较高的精度。由于数字电路传递、加工和处理的是二值信号“0”、“1”，只要某个电平符合于高电平的允许范围就认为是逻辑态“1”，而符合于低电平允许范围则被认为是逻辑态“0”。所以，数字电路的抗干扰能力远高于模拟电路，而对于元器件参数精度的要求以及供电电源稳定度的要求都比模拟电路要低一些。另外，可用增加二进制数的位数来提高数字电路的精度。
(5) 数字电路更易于长期存储、保密、压缩、传输和再现。数字电路除了进行逻辑推演和判断、具有一定的“逻辑思维”能力以外，还有“记忆”功能，能够长期存储一定数量的信号。同时还可以采用标准的逻辑部件和可编程逻辑器件来构成各种各样的数字系统，设计方便，使用灵活。
2. 数字电路与模拟电路的区别
模拟信号与数字信号在处理方法上各有不同，可按照信号传递、加工和处理的形式不同来说明模拟电路与数字电路的区别，并给出两者的对比，如表1.1.1所示。
表1.1.1 模拟电路与数字电路之间的比较
1.2 进制与码制
1.2.1 数的进制与转换
数的进制就是按进位的方式进行计数。日常生活中人们*常用的是十进制数，计算机和数字设备中常用到的是二进制数。
1. 十进制数
日常生活中使用的十进制数中的每一位数都是由0、1、2、3、4、5、6、7、8和9十个数码表示的，计数时“逢十进一”，即每位计满十向相邻高位进一，即计数基数是十，故称为十进制数。
例如，一个十进制数3472.58，它可用带有右下标10或后面带D 的数来表示，通常省略下标或D，即
(3472.58)10 =3×103+4×102+7×101+2×100+5×10-1+8×10-2
对于任意一个十进制数N，可以表示为
(1.2.1)
式中，10表示十进制数N 的基数；n，m为正整数分别表示十进制数中整数和小数的位数；Ki为十进制数中第i位的数码，10i叫做基数为10的第i位的“权”。通过上述分析，可以总结出组成任意进制数的三要素以及任意进制数按权展开的一般形式。
1) 进制的三要素
(1) 数码：组成一种进制的基本成分，例如，对于R进制，数码为0~(R-1)，包括0在内共有R个数码。
(2) 基数：进制中数码的总的个数(状态数)，对于R进制，基数为R。
(3) 进位和借位规则：对于任意的R进制数，进位和借位规则是“逢R进1，借1当R”。
2) 任意进制数按权展开的一般形式
对于任意进制数，如R进制数为(N)R，可以写成按权展开的一般展开式
(1.2.2)
式中，Ki为第i位的数码；R为基数，Ri为R进制数中第i位的权；n为整数的位数，m为小数的位数，n，m均为正整数。
2. 二进制数
在数字电路中常用的计数制是二进制数。与十进制数相比，二进制的优越性在于：
(1)数的状态只有0和1，容易表示，工作可靠。
(2)二进制数的运算简单。
(3)采用二进制数可以节省电路元件，便于设计和简化系统结构。
(4)采用二进制数可以使用逻辑代数，为逻辑设计提供了便利的工具。
二进制数的“基数”为2，“权”为2i，每位二进制数的数码只有1和0，满足“逢二进一”规则。二进制中的10表示十进制数2，一个二进制数可用带有右下标2或后面带B的数来表示，其展开式为
(1.2.3)
例如，一个二进制数(1101.011)2，按其权的展开式为
(1101.011)2 =1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3
二进制数与十进制数之间的对应关系如表1.2.1所示。
表1.2.1
例1.2.1 计算下面二进制数：10111+11010，10011-1011，1101×110，11001÷101。
解
对于二进制数乘法，被乘数由乘数逐位相乘，乘数有三位，被乘数就被乘三次，除了乘数的个位外，其他各位每乘一次非零值，被乘数都向左移一位，而后把移位后的被乘数相加。由此，二进制乘法可归结为“相加和左移位运算”。
做二进制数的除法运算时，每进行一步除，除数向右移动一位，由于除法可通过从被除数中连续减去被右移的除数来实现，因此，二进制除法可归结为“减法和右移位运算”。
二进制数与十进制数相比，在表示同一个数时，二进制数用的位数较多，为此人们通常用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写方式。
3. 八进制数
在八进制数中，每一位数用0、1、2、3、4、5、6、7八个数码表示，所以计数基数为8，任何一位计数达到八时则向相邻高位进一，其进位规则是“逢八进一”，并且借位规则是“借一当八”。
任何一个八进制数可用带有右下标8或后面带O的数来表示，按权展开为
(1.2.4)
例如，一个八进制数(365.21)8，按权展开式为
(365.21)8 =3×82+6×81+5×80+2×8-1+1×8-2
4. 十六进制数
十六进制数中16个数码分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，其中，A、B、C、D、E、F分别代表10~15六个数码。任何一位计数满十六则向相邻高位进一，其进位规则是“逢十六进一”，并且借位规则为“借一当十六”。一个十六进制数可用带有右下标16或后面带H的数来表示。
任何一个十六进制数，可按权展开为
(1.2.5)
例如，十六进制数(3AB.12)16按权展开式为
(3AB.12)16 =3×162+10×161+11×160+1×16-1+2×16-2
5. 计数进制间的相互转换
数字系统、计算机只能识别二进制数，而人们已习惯采用十进制数，若用计
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