第1章 集合论基础
集合理论是现代数学的重要基础，集合论技巧与极限理论相结合，形成了实变函数论的重要基础与鲜明特征．集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔(Cantor)创立的，它建立在一种无限观——“实无限"的基础上．所谓“实无限"，就是把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待．例如，在集合论中，用N={n:n}是自然数g表示全体自然数的集合就是如此．需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的\潜无限"观念．所谓\潜无限"，就是把\无限"作为一个不断发展着的、永远无法完成的过程来看待．例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列
0，1，2，3， ，n，
就是如此．
集合论的产生是数学观念和数学方法上的一次革命性变革.由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为重要，因而逐渐为许多数学家所接受．然而，在康托尔创立集合论不久，他自己就发现了问题，这就是1899年的“康托尔悖论”，亦称“*大基数悖论”．与此同时，历史上还有其他集合悖论，*著名的是1901年的\罗素(Russell)悖论"[1]．
本章介绍集合论的基本概念、基本方法与基本理论，为以后各章的讨论打好基础．
1.1 集合及其运算
1.1.1 集合的概念
什么是集合呢？集合(Set)是现代数学的一个*基本概念，它的严格定义需要用公理系统给出，参见文献[1]．集合论创始人康托尔给出了集合的一个朴素的概念:集合就是“我们察觉到的或在我们思维中的一些确定的不同事物的全体，这些事物称为集合的元素”．简单地说，集合是指“若干确定事物的全体”．这种说法，只是对集合这一概念的描述，并不是严格的数学定义．因为\全体"并不比“集合”更好理解．本书只需采用这种描述性的说法，把若干确定事物的全体称为一个集合，这些事物称为这个集合的元素(Element)．例如，全体自然数组成一集合，区间[a，b]上的全体连续函数组成一个集合，某教室里的学生组成一个集合，等等．
集合简称集，通常用大写字母A，B，C，D等表示，而用小写字母x，y，a，b等表示集合的元素．若x是集A的元素，则记为x2A，读作\x属于A"，若x不是集A的元素，则记为x=2A，读作“x不属于A”．
若集A的每一元素都是集B的元素，则称A是B的子集(Subset)，记为A.B，读作“A包含于B”或“B包含A”．若A是B的子集，而B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集(Propersub set)．
若A.B且B.A，即A与B所含的元素完全相同，则称A等于(Equalsto)B，记为A=B．
为了运算的方便，引进“空集”的概念．把不含任何元素的集合称为空集(Emptyset)，记为．引进空集也是因为有时人们事先对于满足某种性质的元素是否存在并不了解，而需要谈论这种元素之集．例如，方程x2+1=0的全体实根之集就是空集．显然，空集是任意集合的子集．
1.1.2 集合的表示
通常表示集合有两种方法:列举法和描述法．
1.列举法
就是指将集合中的全部元素按照一定的规律排列出来，并用括号{}把它们括起来．例如，由-1及1组成的集合S可表示为S={-1，1}列举法只适用于集合中只有有限个元素，或者集合中的元素可按某种方式排成有规律的序列．例如，全体自然数之集N可表为
全体整数之集Z可表为
也可表示为
全体正整数之集Z+可表为
2.描述法
就是指出集合中的元素的特征即元素所具有的性质．例如，设P(x)是一个关于x的命题，则把使得命题P(x)成立的一切x之集S表示为S=fx:P(x)g，或S=fxjP(x)g，将集E中使得命题P(x)成立的一切x之集表示为fx2E:P(x)g，简记为E[P]．
例如，当P(x)表示x2=1时，fx:P(x)g=fx:x2=1g=f.1，1g，当P(x)表示f(x)>a时，fx:P(x)g就是使得f(x)>a的一切x之集，而E[P]表示集合E中满足f(x)>a的一切x之集，记为E[f>a]，即
类似地，可定义
特别地，全体有理数之集Q可以表示为
坐标平面上的所有点之集R2可表示为
所有复数之集C可表示为
当时，规定
1.1.3 集合的运算
1.交
集A与集B的一切公共元素之集，称为A与B的交集(Intersection)，记为，即
有限多个集A1，A2， ，An的交集是指集
一列集A1，A2， ，An， 的交集定义为
类似地，可以定义任意多个集A.(.2I)的交集
其中I称为指标集(Indexset)．
显然，是包含在所有之中的*大集合.所以，可称其为集族的下确界，记为.于是
例1.1.1设A=f1，2，3，4g，B=f3，4，5g，则．
例1.1.2设，则
例1.1.3
一般地，若两个集合的交集是空集，则称这两个集是不相交的(Disjoint)．
2.并
把集A与集B的所有元素放在一起组成一个集合(相同的元素只取一次)，称为A与B的并集(Union)，记为，即
有限多个集A1，A2， ，An的并集定义为
使得
一列集A1，A2， ，An， 的并集定义为
类似地，可以定义任意多个集的并集为
显然，
是包含了的*小集合.因此，可称其为集族的上确界，记为，或于是
例1.1.4设Ax={(x，y):y∈R}(x∈R)，则
例1.1.5设，则
不难证明:集合的交与并运算具有下列性质．
定理1.1.1设为任意集合，则以下结论成立:
(1)结合律:
(2)交换律:
(3)分配律:
(4)
(5)当时，
(6)当时，
3.差
对任意两个集合A与B，属于A而不属于B的一切元素之集称为A与B的差集(Di.erenceset)，记为，即
例1.1.6设，则
例1.1.7设，则
注意(1)定义差集时并不要求．
(2)一般并不等于A．可以验证:
(3)一般并不等于A．可以验证:
4.余
如果在讨论某一问题时，所涉及的元素都属于同一集合U，则称U为全集或万有集(Universal set)，也称为基本集.这时，我们称U\A为U的子集A关于U的余集或补集(Complement)，或简称A的余集，记为Ac，即．
定理1.1.2设U为全集，则
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
证明这些性质都是明显的，我们只证(4).任取，则且．因此x∈A且，从而x∈A\Bc．另一方面，任取，则x∈A且x∈Bc，即x∈A且，从而．故.证毕.
定理1.1.3(对偶原理)并集的余集等于余集的交集，交集的余集等于余集的并集，即
证明先证第一个等式．设，则，亦即对任意，有．从而．于是．另一方面，任取，则，亦即，从而，于是．第一个等式得证．
至于第二个等式，只要在第一个等式中以代替Aa，再在两端取余即可得到.证毕.
对偶原理以后常要用到，它提供了交并转化的工具.
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