第1章物质波概念的建立与物质波的描述
　　量子概念的建立可谓石破天惊，对量子现象及其动力学行为的描述更非易事.然而这一建立过程并非无迹可寻，更不是那些物理大师突发奇想而成.前事不忘，后事之师.本章简要介绍经典物理发展到20世纪初遇到的本质困难和前辈物理学家执着探索实现升华而建立量子概念的过程，以及量子物理中对于状态的表征的基本概念和图像，主要内容包括：由对光的本质的探究建立量子的概念，实物粒子的量子性初探——玻尔旧量子论，物质波的概念，量子态的波函数描述初探.
　　1.1由对光的本质的探究建立量子的概念
　　1.1.1经典物理在热福射研究中遇到的困难与普朗克光量子假说
　　1.经典物理在热輻射研究中遇到的困难
　　1）热辐射及相关主要物理量
　　对于物体以电磁波形式向外部发射能量，人们称之为辐射.处在热平衡态的物体在一定温度下进行的辐射称为热辐射.
　　显然，对于热辐射，人们关心物体进行热辐射的能力.直观地，物体进行热辐射的能力除与物体的性质和结构有关外，还与物体所含的物质的量，尤其是进行辐射的表面积有关.为便于比较不同物体的辐射能力，人们把温度为T的物体在单位时间内从单位表面上发射的波长在X到范围内的辐射能量dE与波长间隔dA之比称为物体在温度T、波长A情况下的辐射本领，常记为r.上述定义可以简记为
　　(1.1）
　　单位时间内从单位面积上辐射的各种波长的总能量称为该物体的总辐射本领，即有
　　(1.2）
　　物体都有热辐射，并且对其他物体的辐射（辐射来的能量）由散射（常狭义地称为反射）、吸收、透射等方式进行响应.为描述物体的性质，除辐射本领外，人们还引入了吸收本领（系数）、反射本领（系数）和透射本领（系数）等概念.它们分别定义为
　　其中，dEin{T，X）为确定温度T下外来辐射中波长为入的那部分电磁波的能量；dSa(T，A）为温度T下物体从外来辐射中吸收的波长为A的那部分电磁波的能量；dE^(T，X）为温度T下物体反射的波长为A的那部分电磁波的能量；为温度T下从外来辐射中直接穿透过物体的波长为A的那部分电磁波的能量.
　　2）黑体与基尔霍夫辐射定律显然，根据能量守恒定律，我们有
　　(1.3）
　　人们通常称不透明的物体为黑体，即.对于黑体，如果，则显然有.在任何温度下把辐照在其上的任意波长的辐射能量都全部吸收的物体称为绝对黑体，通常简称为黑体，即有.
　　由平衡态的定义知，包含辐射本领和吸收本领分别为&，r2，r3， ，a1；a2，a3， 的一系列物体Oi，O2，O3， 的系统，各辐射体的辐射本领与吸收本领的比值仅与系统的温度和辐射的波长有关，与具体的物体无关，即有
　　(1.4）
　　该规律称为基尔霍夫辐射定律.那么，吸收本领大的物体其辐射本领也大.由此可知，（绝对）黑体是辐射本领*大的物体，也就是一般物体（常称为灰体）的辐射本领都小于（绝对）黑体的辐射本领，即有.因此，研究物体的辐射本领时，人们通常由研究黑体的辐射本领入手.
　　3）关于黑体辐射的基本规律
　　到19世纪末，已进行了很多关于黑体的辐射本领的实验测量，测得的结果如图1.1所示.
　　通过综合分析大量实验结果，斯特藩（J.Stefan）和玻尔兹曼（L.E.Boltzmann）在较早时候就分别发现了关于黑体辐射的总辐射本领的规律，其具体表述为
　　(1.5）
　　其中，常被称为斯特藩-玻尔兹曼常量.此即著名的斯特藩-玻尔兹曼定律.
　　由图1.1知，对于任一温度下的黑体辐射，其对不同波长的电磁波的辐射本领不同，并且存在一个特定波长，其被辐射的辐射本领*大.维恩（W.Wien）通过总结很多实验的测量结果发现，对应辐射本领取得极大值的辐射的波长Am随温度t升高而减小，二者的乘积Amr保持为常量，即有
　　(1.6）
　　其中，b=2.898×10-3m-K为常量.该规律称为（黑体辖射的）维恩位移定律.
　　4）经典物理对黑体辖射的描述及其遇到的困难
　　根据热辐射的定义，温度T情况下波长为A的热辐射即从物体中发射出的波长为A的电磁波的能量.对于波长为A的电磁波，其频率为角频率为其中，c为电磁波传播的速度（即光速），为波数.假设辐射体为边长为L的立方体，记电磁波的角频率密度为则在物体内形成电磁波的振动数为各方向振动数的乘积，即有
　　严格地从经典物理看，因为固定边界内的振动形成的波为驻波，上述计算应以\为分母计算出半个振动的数目，再转化为振动的数目（由上式中的kx、kv、kz的意义知，它们的取值范围仅在三维直角坐标系的第一卦限，在转换到球坐标系时出现系数1/8，与由考虑A/2而引入的系数8相消，从而结果相同假设振动各向同性，将上式转换到球坐标系，并考虑电磁波有两个偏振方向，则有
　　将上式转换到波长A空间，则有
　　于是，电磁波的态密度可以用频率v为宗量表述为
　　(1.7）
　　也可以用波长A为宗量表述为
　　(I-8）
　　由热物理基本原理，单位时间内从物体上的单位面积辐射出去的电磁波的数目为电磁波的泻流数率.再考虑能量均分定理：每一振动的平均能量与系统的温度之间有关系，则得黑体的辐射本领为
　　(1.9）
　　此即著名的黑体辖射本领的瑞利(Rayleigh）公式，也常称为瑞利-金斯(Rayleigh-Jeans，R-J）公式.
　　如果不利用能量均分定理的结果，而考虑一个振动的能量与其波长A之间有关系，系统的振动能量的分布满足玻尔兹曼分布，即有，再计算总辐射本领，并与斯特藩-玻尔兹曼定律比较，得到函数，进而可得黑体辐射本领的维恩公式
　　(1-10）
　　其中，Cl、c2为普适常量（常分别称之为第一、第二辐射常量）.
　　利用瑞利-金斯公式和维恩公式对黑体的辖射本领的计算结果及其与实验结果的比较如图1.2所示.
　　由图1.2很容易看出，维恩公式可以很好地描述黑体辐射本领在中短波长区的行为，但不能描述其在长波区的行为（衰减太快）；瑞利-金斯公式可以描述黑体辐射本领在长波区的行为，但对于黑体辐射本领在短波区的行为，不仅不能定量描述，并且出现发散，也就是说，定性上就不正确.此即著名的关于黑体辐射的紫外灾难.这说明对于黑体辖射，经典物理遇到了本质上的困难.
　　2.紫外灾难的解决——光量子假说
　　1）普朗克光量子假说与普朗克黑体辐射本领公式
　　为解决上述本质困难，德国物理学家普朗克（M.Planck）根据瑞利-金斯公式和维恩公式分别适用于长波区、短波区，参照热力学关系，对这两个公式进行内插拟合，给出一个对全波长区域都适用的公式一^普朗克公式.为探究公式背后的物理本质，普朗克分析了两个公式的导出过程，发现其问题可能是出在黑体辐射能量的平均值的表述.为解决上述问题，普朗克假设引起辐射的谐振子的能量只能取某些特殊的分立值，这些分立值是某一*小能量单元q的整数倍，即，其中频率为v的谐振子的能量单元为，为普朗克常量.考虑粒子能量状态的玻尔兹曼分布律
　　其中则黑体辐射出的能量的平均值应为
　　因为的等比数列，即有
　　所以
　　将波长与频率间的关系代入，则得
　　此即著名的黑体辐射本领的普朗克公式.具体计算表明，普朗克公式给出的结果与实验测量结果完全一致.
　　2）普朗克公式与维恩公式及瑞利-金斯公式间的关系
　　很显然，在短波情况下，于是
　　此即前述的维恩公式，
　　在长波情况下，于是
　　此即前述的瑞利-金斯公式.

目录
前言
第1章　物质波概念的建立与物质波的描述　1
1.1　由对光的本质的探究建立量子的概念　1
1.1.1　经典物理在热辐射研究中遇到的困难与普朗克光量子假说　1
1.1.2　光电效应与爱因斯坦光量子理论　7
1.1.3　康普顿效应　12
1.1.4　光的本质及对之研究中经典物理遇到的困难　14
1.2　实物粒子的量子性初探——玻尔旧量子理论　19
1.2.1　玻尔关于氢原子结构的理论　19
1.2.2　玻尔理论的成功与局限　26
1.3　物质波的概念　26
1.4　量子态的波函数描述初探　35
1.4.1　物质波的表述——波函数　35
1.4.2　波函数的统计诠释　35
1.4.3　统计诠释及其他物理条件对波函数的要求　36
思考题与习题　42
第2章　物理量及其算符表达与相应的量子态　45
2.1　物理量的值的不确定性及其平均值　45
2.1.1　物理量的值的不确定性　45
2.1.2　不确定性原理　47
2.1.3　物理量的平均值及其计算规则　51
2.2　物理量的算符表达及其本征值和本征函数　54
2.2.1　物理量的算符表达　54
2.2.2　物理量算符的本征值和本征函数　56
2.3　物理量算符的性质及运算　59
2.3.1　算符及线性厄米算符　59
2.3.2　量子力学中算符的基本性质　62
2.3.3　量子力学中算符的运算　63
2.3.4　量子力学中的主要对易关系　65
2.4　量子态与态叠加原理　68
2.4.1　量子态及其表象　68
2.4.2　态叠加原理　69
2.5　可测量物理量完全集及其共同本征函数　71
2.5.1　对不同物理量同时测量的不确定度　71
2.5.2　不同物理量同时有确定值的条件　73
2.5.3　一些物理量的共同本征函数　77
2.5.4　可测量物理量完全集及其共同本征函数的完备性　79
思考题与习题　81
第3章　量子态和物理量随时间的演化　85
3.1　量子态满足的动力学方程　85
3.1.1　薛定谔方程　85
3.1.2　态叠加原理的验证　87
3.1.3　初值问题　87
3.2　定态薛定谔方程　88
3.2.1　定态薛定谔方程与能量本征值和本征函数　88
3.2.2　定态及频谱分析　89
3.3　连续性方程与概率守恒　90
3.3.1　连续性方程　90
3.3.2　定域流守恒和概率守恒　92
3.4　物理量随时间的演化及守恒量　93
3.4.1　物理量的平均值随时间的变化　93
3.4.2　守恒量　95
3.4.3　守恒量与对称性　97
思考题与习题　103
第4章　一维定态问题举例　107
4.1　一维定态的一般性质　107
4.2　一维线性谐振子　112
4.2.1　波动力学方法（坐标表象）求解　112
4.2.2　能量占有数表象方法求解　117
4.2.3　相干态表象及集体运动的二次量子化表象的一般讨论　121
4.3　一维方势垒及其隧穿　123
4.3.1　一维方势垒的求解　124
4.3.2　一维方势垒势场中运动粒子的性质　126
4.4　一维周期场中运动的粒子　129
4.4.1　弗洛凯（Floquet）定理　130
4.4.2　布洛赫（Bloch）定理　132
4.4.3　应用举例：周期为a+b的周期场中运动粒子的性质的具体求解与固体的能带理论　132
思考题与习题　137
第5章　有心力场　141
5.1　有心力场中运动的粒子的一般讨论　141
5.1.1　有心力场中运动的粒子的可测量物理量完全集　141
5.1.2　径向本征方程与能量本征值　142
5.2　氢原子和类氢离子的能级和能量本征函数　144
5.2.1　径向方程的质心运动与相对运动的分离　144
5.2.2　氢原子的径向方程与能量本征值　145
5.3　氢原子和类氢离子的结构与性质　148
5.3.1　氢原子和类氢离子的能级特点及简并度　148
5.3.2　氢原子的波函数及概率密度分布　150
5.3.3　类氢离子的性质　157
5.4　三维及更高维无限深球方势阱问题　158
5.4.1　三维无限深球方势阱问题　158
5.4.2　五维无限深球方势阱问题　163
思考题与习题　168
第6章　自旋与全同粒子系统　172
6.1　微观粒子具有自旋自由度　172
6.1.1　实验基础　172
6.1.2　电子具有内禀自由度——自旋　174
6.2　单电子的自旋态的描述　177
6.2.1　自旋态的描述　177
6.2.2　自旋算符与泡利矩阵　178
6.3　两电子的自旋的叠加及其波函数　183
6.3.1　两电子自旋叠加的概念和代数关系　183
6.3.2　总自旋的M-Scheme确定　184
6.3.3　两电子的总自旋及其波函数　185
6.3.4　纠缠态初步　187
6.4　全同粒子及其交换对称性　191
6.4.1　全同粒子体系的概念和基本特征　191
6.4.2　全同粒子体系波函数的交换对称性　192
6.4.3　仅包含两个全同粒子的体系的波函数与泡利不相容原理　194
6.5　多粒子体系性质的研究方法　198
6.5.1　N个无相互作用全同粒子组成的体系　198
6.5.2　有相互作用的全同粒子组成的体系　199
6.5.3　多角动量的耦合与总角动量　205
6.5.4　角动量态在非耦合表象与耦合表象之间的变换　208
6.6　电子的自旋–轨道耦合与原子能级的精细结构　213
6.6.1　原子的精细结构的概念与分类　213
6.6.2　电子的自旋与轨道角动量之间有相互作用　214
6.6.3　原子能级的精细结构　217
6.6.4　原子能级的超精细结构　228
6.7　原子的壳层结构与元素周期表　233
6.7.1　单电子能级的壳层结构与电子填充　233
6.7.2　多电子原子中电子的填充　235
6.7.3　元素周期表　238
6.8　多粒子体系的集体运动的研究方法　239
6.8.1　广义相干态及其构建　240
6.8.2　对分子的集体运动的描述　241
思考题与习题　243
第7章　公理化表述与矩阵力学概要　247
7.1　概论　247
7.2　希尔伯特空间与量子力学基本原理　249
7.2.1　有限维的复向量空间——厄米空间　249
7.2.2　一个实例——厄米和简谐振子本征方程　250
7.2.3　希尔伯特空间　252
7.2.4　狄拉克符号　254
7.2.5　线性空间基矢的性质　255
7.3　量子测量　261
7.3.1　量子测量的概念与存在争论的问题　261
7.3.2　EPR佯谬　262
7.3.3　贝尔不等式　265
7.4　表象与表象变换　273
7.4.1　态矢量的性质及表象变换　273
7.4.2　算符的表示及表象变换　281
7.5　矩阵力学概要　287
7.5.1　本征方程　287
7.5.2　定态薛定谔方程的矩阵形式　293
7.5.3　物理量的平均值　294
7.6　薛定谔绘景和海森伯绘景　295
7.6.1　时间演化算符　295
7.6.2　海森伯方程　296
7.6.3　薛定谔绘景和海森伯绘景及其间的比较　297
思考题与习题　299
第8章　近似计算方法　303
8.1　非简并定态微扰计算方法　303
8.1.1　一般讨论　303
8.1.2　一级微扰近似下的能量本征值和本征函数　304
8.1.3　二级微扰近似下的能量本征值和本征函数　305
8.2　简并定态微扰计算方法　307
8.2.1　简并定态微扰计算方法的框架　307
8.2.2　一个简单应用——氢离子态的描述　308
8.3　含时微扰和量子跃迁问题计算方法初步　311
8.3.1　量子态之间跃迁的一般描述　311
8.3.2　实用举例：原子状态的改变　318
8.4　散射问题计算方法初步　325
8.4.1　一般描述方案　326
8.4.2　光学势、玻恩近似、分波分析等研究方法概述　333
8.5　变分方法　339
8.5.1　变分原理　339
8.5.2　里茨（Ritz）变分法　341
8.5.3　一个实例——氢分子　343
8.6　准经典近似与WKB近似方法　347
8.6.1　一般说明　347
8.6.2　WKB近似方法　350
思考题与习题　356
第9章　电磁场中运动的带电粒子与量子相位　364
9.1　基本理论框架　364
9.1.1　经典电磁作用规律的表述及其规范不变性　364
9.1.2　电磁场中运动的带电粒子的动量和哈密顿量　367
9.1.3　规范对称性　368
9.2　电子的朗道能级　369
9.2.1　均匀磁场中运动的电子的哈密顿量　369
9.2.2　本征函数　371
9.2.3　朗道能级及其简并度　371
9.2.4　规范不变性的进一步检验　372
9.2.5　应用举例　373
9.3　磁场中的原子　374
9.3.1　强磁场中运动的原子——正常塞曼效应　374
9.3.2　弱磁场中运动的原子——反常塞曼效应　379
9.3.3　磁共振　386
9.4　电场中运动的原子——斯塔克效应　391
9.5　量子相位　394
9.5.1　Aharonov–Bohm效应　395
9.5.2　Aharonov–Casher效应　397
9.5.3　He–McKellar–Wilkens–Wei–Han–Wei效应　398
9.5.4　贝利（Berry）相位　401
思考题与习题　408
主要参考书目　412