第1篇力学
第1章质点运动学
一、基本要求
(1)理解描述质点运动的位矢、位移、速度、加速度等物理量的意义.
(2)熟练掌握质点运动学的两类问题:用求导法由已知的运动学方程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学方程求位矢、位移、平均速度、平均加速度、轨迹方程.用积分法由已知质点的速度或加速度求质点的运动学方程.
(3)理解自然坐标系，理解圆周运动中角量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度.
(4)了解质点的相对运动问题.
(一)本章重点和难点
重点:掌握质点运动学方程的物理意义，利用数学运算求解位矢、位移、速度、加速度、轨迹方程等.
难点:将矢量运算方法及微积分运算法应用于运动学解题.(提示:矢量可以有黑体或箭头两种表示形式，教材中一般用黑体形式表示，学生平时作业及考试必须用箭头形式表示.)
(二)知识网络结构图
(三)基本概念和规律
1.质点的位矢、位移、运动方程在直角坐标系中：
(1)质点运动方程(描述质点运动的空间位置与时间的关系式).
(2)位矢.
(3)位移，注意位移和路程的区别，一般情况下或
位移大小.
径向增量
(4)参数方程:
(5)轨迹方程:从参数方程中消去t，得F(x，y，z)=0.
2.速度和加速度
直角坐标系中：
(1)速度
(2)平均速度
(3)加速度
(4)平均加速度
3.曲线运动
描述质点的曲线运动，常采用自然坐标系(由切向和法向组成).在自然坐标系中，质点的(线)速度和加速度为：
(1)速度
(2)加速度.其中，切向加速度量度速度量值的变化;法向加速度量度速度方向的变化，为曲率半径.
4.圆周运动
(1)角速度了
(2)线速度.
(3)角加速度.
(4)总加速度
(大小取模)
且有角量与线量关系式
5.相对运动
一个运动质点在两个做相对平动的参考系中的速度关系为
式中，v为绝对速度;是质点相对于s系的速度；v，为相对速度，是质点相对于s'系的速度;u为牵连速度，是s'系相对于s系的速度.
(四)容易混淆的概念
(1)瞬时速度和平均速度.
瞬时速度(简称速度)，对应于某时刻的速度，是质点位置矢量随时间的变化率，用求导法;平均速度是质点的位移除以产生这段位移所用的时间，对应的是某个时间段内的速度平均值，不用求导法.
(2)瞬时加速度和平均加速度.
瞬时加速度(简称加速度)，对应于某时刻的加速度，是质点速度矢量随时间的变化率，用求导法;平均加速度是质点的速度增量除以时间，对应的是某个时间段内加速度的平均值，不用求导法.
(3)质点运动方程、参数方程和轨迹方程.
质点运动方程(即位矢方程)，是质点位置矢量对时间的函数;参数方程是以时间t为参量的质点运动方程的分量式;而轨迹方程则是从参数方程中消去t得到的，反映质点运动的轨迹点.
(4)绝对速度、相对速度和牵连速度.
绝对速度是质点相对于静止参考系的速度;相对速度是质点相对于运动参考系的速度；牵连速度是运动参考系相对于静止参考系的速度.
(五)思考问答
问题1位置矢量r与位移有何区别？和意义相同吗？
答位置矢量r(简称位矢)是从坐标原点指向质点所在位置的一个有向线段，描述了某时刻质点的位置;而位移是初位置指向末位置的有向线段，反映了质点位置的变化，二者意义不同.
末位置的位矢和初位置的位矢之差即为该段时间内的质点的位移，若取初位置为坐标原点，则末位置的位矢和位移一致.质点的瞬时速度为该时刻位矢对时间的一阶导数，而不是位移对时间的导数.
是矢量增量的模，即位移的大小；为矢量模的增量，即位矢的径向增量，二者意义不同.
问题2如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么它的速度与时间、位矢与时间的关系是否也是线性的呢？
答设a=kt(其中k是常数），则用积分法可求得，可见速度与时间的关系不是线性的.以此类推，可知位矢与时间的关系也不是线性的.
问题3物体某一时刻开始运动，在时间后，经任一路径回到出发点，此时速度的大小和开始时相同，但方向一般不同，试问在时间内平均速度是否为零？平均加速度是否为零？
答平均速度v是物体的位移与时间的比值，而这段时间内位移为零，所以平均速度v为零.
平均加速度汉是物体速度的增量与时间!的比值，由于初、末速度的方向不同，所以不为零，平均加速度也不为零.
问题4圆周运动中质点的加速度是否一定和速度方向垂直？任意曲线运动的加速度是否一定不与速度方向垂直？
答不管是圆周运动还是任意曲线运动，质点的总加速度均为切向加速度和法向加速度的矢量和.
在匀速率圆周运动中，速度的大小不变，切向加速度为0，质点的加速度为法向加速度，且其方向与线速度方向垂直，指向圆心.而在变速率圆周运动中，速度的大小也随时间的变化而变化，质点的加速度不但有法向分量还有切向分量，因此，加速度的方向一般不垂直于沿切向的速度方向，也不一定指向圆心(法向).
在匀速率曲线运动中，只要速度方向有变化，加速度只能有法向分量，而且一定与沿曲线切向的速度方向垂直，并指向质点所在处曲线的曲率中心.
在变速曲线运动中，切向加速度不为零，故加速度一定不与速度方向垂直，但一定指向轨迹的凹侧.
问题5关于质点的运动，下列说法是否正确？
(1)质点做圆周运动时加速度指向圆心；
(2)匀速圆周运动的加速度为恒量；
(3)只有法向加速度的运动一定是圆周运动；
(4)只有切向加速度的运动一定是直线运动.
答(1)错.质点做非勻速率圆周运动时，加速度不一定指向圆心.
(2)错.质点做匀速圆周运动时，只有法向加速度，加速度的大小不变但方向不断变化且始终指向圆心.
(3)错.只有法向加速度的运动，切向加速度为0，则速率不变.圆周运动中，半径R一定，由知，法向加速度的大小也一定.应该说只有法向加速度且其大小不变的运动一定是圆周运动.
(4)正确.只有切向加速度的运动，其法向加速度为0.而—定是直线运动.
三、解题方法
运动学主要分为两类问题：
第一类问题，已知运动方程求速度和加速度，用求导法.
第二类问题，已知质点加速度以及在起始状态时的初位矢和初速度，求速度、位矢或质点运动方程，用积分法.
其中，第一类问题的解题方法是求导，求导不需附加条件;求解第二类问题需要积分，而积分则需要相应的初始条件，积一次分，需一个初始条件.有些情况下，不能直接积分，需作变量代换.另外，在不同坐标系下(如直角坐标系与自然坐标系)，物理量的表达式不同，故学习中要准确掌握.
四、解题指导
1.已知质点运动参数方程为，式中，R和w为常量，试求：
(1)质点轨迹方程是什么？做何运动？
(2)1s末的位矢.
(3)速度和加速度大小.
【分析】这是已知运动方程求速度、加速度的典型问题，即运动学第一类问题，通过求导法进行计算.
解(1)由参数方程消去t，可得轨迹方程
这是以尺为半径、圆心位于(0，R)点的圆方程，即质点做圆周运动.
(2)运动方程矢量形式为
将t=1s代入上式得
(3)由速度定义
其中
速度大小为
可见v的值为一常量，表明质点做匀速率圆周运动，角速度为w.
再由加速度定义
其中
加速度大小为
2.—质点在xOy平面上运动，运动方程为(式中，t以s计，x和y以m计).求：
(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；
(2)求出t=1s时刻和t=2s时刻的位置矢量，计算这1s内质点的位移；
(3)计算t=0～4s内的平均速度；
(4)求出质点速度矢量表示式，计算t=4s时质点的速度；
(5)计算t=0～4s内质点的平均加速度；
(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t=4s时质点的加速度.
(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).
【分析】本题是*基本的直角坐标系下运动学第一类问题，意在强化直角坐标系下的运动学基本概念.题目中给出的是参数方程形式，可用矢量式直接写出质点运动方程形式，再用求导法求出速度和加速度.
解(1)位矢方程(质点运动方程)为
(2)将t=1，t=2代人上式即有
(3)因为
(4)则
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