第1章绪论
本章主要介绍后面章节中需要用到的一些矩阵代数基础知识，并介绍几种常用的矩阵分解，所有的结论都是述而不证.
1.1概念和记号
本书引用下列记号.用Cn(Rn)表示n维复(实)向量空间，Cm×n(Rm×n)表示m×n复(实)矩阵空间，Cm×nr(Rm×nr)表示秩为r的m×n复(实)矩阵集合.对于任意的矩阵A∈Cn×n，AT，A.，A.1分别表示矩阵A的转置矩阵、共轭转置矩阵和逆矩阵.对于任意的向量x，y∈Cn，用(x，y):=y.x表示x和y的欧几里得内积.
1.特征值与特征向量
设A∈Cn×n.若存在数λ∈C和非零向量x∈Cn使得
则称λ为A的特征值，x为A属于λ的特征向量.
因此，λ是A的特征值当且仅当det(λI.A)=0.我们称p(λ)=det(λI.A)为A的特征多项式.
2.最小多项式
如果A有r个互不相同的特征值λ1，λ2， ，λr，则A的特征多项式可表示为
称ni为λi的代数重数.记γi=n.rank(λiI.A)，称γi为λi的几何重数，它表示属于λi的线性无关特征向量的个数，满足1.γi.ni.若ni=1，则称λi为A的简单特征值.若γi=ni，则称λi为A的半简单特征值.显然，简单特征值必为半简单特征值.满足p(A)=O的首项系数为1且次数最低的多项式p(λ)称为A的最小多项式.可以证明，A的最小多项式具有下列形式，即
3.酉矩阵与正交矩阵
若矩阵A∈Cn×n满足A.A=I，则称为酉矩阵.实的酉矩阵称为正交矩阵，
即A满足ATA=I.
显然有，酉矩阵A的逆矩阵为A.1=A.，正交矩阵A的逆矩阵为A.1=AT.
此外，酉矩阵还具有下列性质.
(1)设U，V∈Cn×n是酉矩阵，则，且U.1和UV也是酉矩阵.
(2)U∈Cn×n是酉矩阵的充分必要条件是U的列向量是两两正交的单位向量.
设A，B∈Cn×n.若存在非奇异矩阵P使得A=P.1BP，则称A与B相似.若P为酉矩阵，则称A与B为酉相似.若P为正交矩阵，则称A与B为正交相似.
显然，相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.
4.正规矩阵
设A∈Cn×n 1若A.A=AA.，则称A为正规矩阵 2若A.=A，则称A为Hermite矩阵 3实的Hermite矩阵称为实对称矩阵，即A满足AT=A.
.4若A满足A.=.A，则称A为反Hermite矩阵 5实的反Hermite矩阵称为反对称矩阵，即A满足AT=.A.
容易验证，酉矩阵、正交矩阵、Hermite矩阵、反Hermite矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵都是正规矩阵.
根据反对称矩阵的定义，容易证明反对称矩阵A=(aij)∈Rn×n具有下列性质:
(1)
(2)不存在奇数阶非奇异反对称矩阵.
(3)A的特征值只能是0或纯虚数.
此外，注意到，若A∈Cn×n为反Hermite矩阵，则其对角元为0或纯虚数，其特征值也只能是0或纯虚数.
5.正定矩阵与半正定矩阵
设A∈Rn×n.若对任意的非零向量x∈Rn有(Ax，x)>0(.0)，则称A为(实)正定矩阵(半正定矩阵).若A还是对称的，则称为(实)对称正定矩阵(对称半正定矩阵).
不难推得，对称矩阵的特征值均为实数.对称正定矩阵(对称半正定矩阵)的特征值均为正数(非负数).此外，若记
分别称为A的对称部分和反对称部分，则显然对任意的矩阵A∈Rn×n都可唯一地分裂为
称为矩阵A的对称–反对称分裂.
正定(或半正定)的一个重要性质是：A∈Rn×n正定(或半正定)的充分必要条件是其对称部分H对称正定(或对称半正定).
6.置换矩阵
设是的一个排列，以n阶单位矩阵In的n个列向量
为列构成的n阶矩阵，称为置换矩阵或排列矩阵.
例如
是一个3阶置换矩阵.
置换矩阵具有如下性质:
(1)置换矩阵的转置仍是置换矩阵.
(2)置换矩阵是正交矩阵.
(3)设，则PTA是将A按行重新排列所得到的矩阵，AP是将A按列重新排列得到的矩阵.
7.合同矩阵
设A，B∈Cn×n.如果存在n阶非奇异矩阵C，使得
(1)B=CTAC，则称A与B为T-合同.
(2)B=C.AC，则称A与B为.-合同.
显然，这两个合同概念具有密切的联系.当C是实矩阵时，T-合同和.-合同是一致的.此外，容易证明，T-合同和.-合同都是等价关系.
利用合同的定义还可以得到:
(1)如果A是Hermite矩阵，则C.AC也是Hermite矩阵(即使C是奇异矩阵).
(2)如果A是对称矩阵(不一定是实矩阵)，则CTAC也是对称矩阵.
(3)如果A是Hermite正定(半正定)矩阵，则C.AC也是Hermite正定(半正定)矩阵.
(4)如果A是对称正定(半正定)矩阵，则CTAC也是对称正定(半正定)矩阵.
8.Schur补
对于2×2分块矩阵
(1.1)
当A11可逆时，称A22.A21A.1
11A12为A关于A11的Schur补，记为A/A11.当A22可逆时，称为A关于A22的Schur补，记为A/A22.
定理1.1设A具有式(1.1)的分块形式，且A11可逆，则
(1)
(2)
由定理1.1立即可得下面的结论.
推论1.1设A具有式(1.1)的分块形式，且A22可逆，则
(1)
(2)
推论1.2设
是Hermite矩阵，A关于A11的Schur补
，则
(1)A正定当且仅当A11及A/A11均正定.
(2)若A11正定，则A正定当且仅当A/A11正定.
1.2几种常见的矩阵分解
矩阵分解是指将一个矩阵分解为比较简单或对其性质比较熟悉的若干个矩阵的乘积.下面介绍几种常见的矩阵分解.
1.矩阵的特征分解
矩阵的特征分解也称为谱分解，是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵乘积的方法.需要注意的是只有可对角化的矩阵才存在特征分解.
设A∈Cn×n有n个线性无关的特征向量qi(i=1，2， ，n)，则A可以被分解为
(1.2)
式中，为A的特征值;Q为n阶方阵，且其第i列为A的特征向量.
一般来说，特征向量通常被正交单位化，此时Q为酉矩阵.因此可以通过特征分解来求矩阵的逆.若矩阵A可被特征分解并且特征值中不含零，则矩阵A为非奇异矩阵，且其逆矩阵可以由下式给出:
(1.3)
这里Q.是Q共轭转置矩阵.因为Λ为对角矩阵，其逆矩阵容易计算出:
由于任意的n阶实对称矩阵A都有n个线性无关的特征向量，并且这些特征向量都可以正交单位化而得到一组正交且模为1的向量.故实对称矩阵A可被分解成
式中，Q为正交矩阵;Λ为实对角矩阵.
类似地，设A∈Cn×n为正规矩阵，由于正规矩阵是可对角化的，故其具有一组标准正交特征向量基，因此可被分解成
式中，U为酉矩阵.进一步地，若A是Hermite矩阵，那么对角矩阵Λ的对角元全为实数.若A是酉矩阵，则Λ的所有对角元在复平面的单位圆上取得.
利用矩阵的特征分解，可以证明下面的定理.
定理1.2设A∈Cn×n为Hermite正定(半正定)矩阵，则存在唯一的Hermite正定(半正定)矩阵B使得
(1.4)
称这样定义的矩阵B为矩阵A的平方根矩阵，常记为A1/2.
2.矩阵的Schur分解
矩阵的Schur分解在理论上十分重要，它是许多重要定理证明的出发点.如矩阵论中极为重要的Cayley-Hamilton(凯莱–哈密顿)定理，就可以利用矩阵的
Schur分解定理进行简洁而优美的证明.
定理1.3(Schur分解定理)设A∈Cn×n，则存在酉矩阵P∈Cn×n使得
式中，T为上三角矩阵，其对角元素是A的特征值，而且可以选取P使得T的对角元能够任意排列.
推论1.3设的特征值都是实数，则A正交相似于上三角矩阵.
设多项式
对于n阶矩阵A，定义矩阵多项式
式中，I为单位矩阵.如果那么称A为的矩阵根.
利用矩阵的Schur分解可以证明著名的Cayley-Hamilton定理.
定理1.4(Cayley-Hamilton定理)设A∈Cn×n，p(λ)=det(λI.A)，则p(A)=O，即矩阵A的特征多项式是它的零化多项式.
利用定理1.3和推论1.3，可以导出矩阵酉(正交)相似于对角矩阵的充要条件.
定理1.5矩阵A∈Cn×n酉相似于对角矩阵当且仅当A是正规矩阵，即A.A=AA 换言之，正规矩阵一定可对角化.
推论1.4设的n个特征值都是实数，则A正交相似于对角矩阵的充要条件是.
推论1.5设A∈Cn×n为正规矩阵，λ是A的特征值，x是对应的特征向量，则λ是A.的特征值，λ对应的特征向量仍然是x.
推论1.6设A∈Cn×n为正规矩阵，λ，μ是A的特征值，x，y是对应的特征向量.如果，则x与y正交，即.
推论1.7设，则A酉相似于实对角矩阵的充要条件是A为Hermite矩阵.
推论1.8设A∈Cn×n是反Hermite矩阵，则存在n阶酉矩阵U使得
式中，为实数.
下面介绍两个n阶实对称矩阵“同时”相似于对角矩阵的问题.
定理1.6设A和B都是n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使得PTAP和PTBP都是对角矩阵的充要条件是AB=BA.
温馨提示：请使用罗湖图书馆的读者帐号和密码进行登录
