第一章函数极限与连续
案例1-1
快速注射某药物后，药物迅速地分布到血液中，开始时刻血药浓度为Co，血药浓度会随时间变化而变化，假定血药浓度变化速率与当时血药浓度成正比，比例常数为k.
问题1如何确定经过f小时后的血药浓度C(f)?
问题2当f越来越大时，血药浓度如何变化？
案例分析
血药浓度会随时间变化而变化，表明它们之间存在着密切关系，而且对任意一个时刻，都有唯一的血药浓度，这种关系称为函数关系．确定它们的函数关系具体如下：血药浓度的变化是连续的．把时间段[o，t]等分成n小段，每小段时间为，当n充分大时很小，每小段内血药浓度的变化速率变化也相当小，可以近似看成常量，因此第一小段内的变化率为kCo，经过第一小段时间后的减小的血药浓度为kCo三，故此时的血药浓度为
由于经过第二小段时间后，血药浓度为
由此类推，经过第n小段时间后，血药浓度为
当n越大时，时间小段越短，所得的结果越精确，因此当，z无限增大时，Cn的变化趋势就是所求的C(t)，即C(t)=limC，这就是将在后面讲授的极限．
函数是微积分学研究的基本对象，极限是微积分学的理论基础和工具，本章将介绍函数的概念和性质、极限的定义及计算，同时介绍连续和间断的概念.
第一节函数
一、函数的概念
在案例1-1中，血药浓度C随着时间t变化，而血药浓度变化速率与血药浓度的比例常数k不随时间t而变化，这两类量显然有不同，分别称为变量与常量.即在某一变化过程中，数值保持不变的量，称为常量（constant）；在该变化过程中数值变化的量，称为变量（variable）.例如，圆的半径r变化时，圆的面积随之变化，而圆面积与圆的半径的平方之比S2.π是不变的.即S和r是变量，π是常量.变量通常在某一范围内变化，其变化范围用集合表示，通常采用区间的形式来表示.
记称为闭区间（closedinterval），称为开区间（openinterval）.类似地，还可定义半开区间（half-closedinterval）和无穷区间（infinite interval），即，称为左开右闭区间；，称为左闭右开区间；称开区间为x0的邻域（neighborhood），记作，简记为，表示的附近.称
为x0的空心，简记为邻域，记作.
在案例1-1中，血药浓度C随着时间t变化，每一时刻t总可以测得唯一的血药浓度C与之对应.它们之间存在着非常密切的关系，这种关系称为函数关系.
函数定义及表示
定义1.1设x和y是某一变化过程中的两个变量，D是一个给定的非空实数集，若对于任何一个x.D，变量y按某种法则f总有唯一确定的值y与之对应，则称y是x的函数（function）.记为y=f（x）.
其中，x称为自变量（independentvariable），y称为因变量（dependentvariable），数集D称为函数的定义域（domainofdefinition）.对于x0.D，按照对应法则f，总有唯一确定的值y（记为f（x）与之对应，称f（x）为函数在x处的函数值.当自变量x取遍D中的所有数值时，所0有函数值0f（x）的全体构成的集0合称为函数的0值域（domainoffunctionvalue），记为f（D），即
当函数关系由实际问题给出时，函数的定义域应由实际问题的具体要求来确定，如血药浓度C与时间t的函数关系记为.
函数y=f（x）对定义域D内每一个确，定的x值，只有唯一的一个y值与其相对应，称为单值函数，在本书定义的函数都是单值函数.如果对于定义域中的一个x值，有两个或以上不同的y值与之对应的函数，称为多值函数.不属于定义1.1中定义的函数.
对于以x为自变量的关系y2=4x而言，定义域为x≥0.可是与每一个大于零的x值对应的y值有两个.例如，当x=1时，y=2和y=.2等.
在平面直角坐标系xOy中，点集称作函数.fx的图形或图像.
函数的表示法常用有三种：解析法、图像法、表格法.
例1.1使用把染料注入静脉然后从动脉采集血样测定染料浓度的方法测心输出量.获得数据见表1-1.
表1-1染料浓度变化数据
浓度C与时间t的关系由表1-1表示.把表中数据（ti，Ci）描在二维坐标系中并用光滑曲线连接得到一曲线如图1-1所示，这条曲线近似表示染料浓度与时间之间的函数关系，此为函数的图像表示法.
例1.2Cowling公式表示未成年人服药剂量与年龄的函数关系，其中C表示成年人服药剂量，x表示年龄，y表示服药剂量.中国未成年人是指18周岁以下的人，故该函数的定义域D=[0，18].
约定当函数使用解析法表示时，函数的定义域就是使解析式有意义的一切实数所构成的集合，这种定义域又称为函数的自然定义域.
例1.3确定函数y的自然定义域.
解为使根号内的数大于等于0，且分母不为0，必须，即
或
得函数的定义域.
例1.4函数，其定义域为，值域为.称为符号函数，记为，图形由几段不同的曲线组成，图形如图1-2所示.这类在定义域的不同范围，函数表达式不同的函数称为分段函数.
二、函数的性质
（一）函数的有界性
设函数y=f（x）在实数集D内有定义，若存在一个正数M，对于所有的，则称函数y=f（x）在D内有界（bounded），M称为函数y=f（x）在D内的界.如果对于任意的正数M，总存在，使得，则称y=f（x）在D（unbounded）内无界.
图1-2
例如，对于任意，恒有，因此函数y=sin2x在R上有界.例1.2和例1.4给出的函数在其定义域上均是有界函数.而例1.3给出的函数是无界函数.确定函数是否有界与考虑的范围密切相关.
（二）函数的单调性
设函数y=f（x）在实数集D内有定义，如果对实数集D内的任意两点x1和x2，当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在D内是单调递增的；当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在D内是单调递减的.单调递增和单调递减的函数统称为单调函数.函数的单调性与考虑的范围有关.
单调递增函数的图形是沿x轴正方向逐渐上升的曲线（图1-3）；单调递减函数的图形是沿x轴正方向逐渐下降的曲线（图1-4）.
（三）函数的奇偶性
如果函数y=f（x）对其定义域内的每一个x，都有f（-x）=f（x）成立，那么函数的图形关于y轴对称，称f（x）为偶函数.例如，函数均是偶函数.
图1-3
图1-4
如果函数y=f（x）对其定义域内的每一个x，都有f().x fx成立，那么函数的图形关于原点对称，称f（x）为奇函数.例如函数f（x）=2x3.x是奇函数.而函数非奇非偶.
例1.5绝对值函数是偶函数，图像如图1-5所示.绝对值函数的图形在原点处有一个尖角.
例1.6对于任意一个实数x，取它的不超过x的最大整数值作为y值，称为对x取整，也称之为取整函数，记作y=[x].例如，[0.36]=0等.取整函数定义域为值域为整数集Z，图像如图1-6所示.取整函数的图形在每个整数的地方出现一次跳跃.
图1-5
图1-6
（四）函数的周期性
对于函数y=f（x），若存在一个不等于零的常数T，使得对每一个，都有f(x+T)=f（x），则称y=（x为这个函数的周期.并称常数T周期函数的周期.周期函数的周期不是唯一的，通常所讲的周期指它的最小正周期.
例如，都是函数的周期，而最小正周期为.
三、复合函数与反函数
（一）复合函数
两个函数f（x）和g（x）串联起来可以产生新的函数关系（图1-7），即把前一个函数的函数值作为后一个函数的输入，通过后一个函数得到最终输出，这种运算称为复合运算，得到的新函数称为复合函数.
图1-7
定义1.2设y=f（u）的定义域为 x的定义域为非空，则称函数是由函数和函数y=（f）复合而成的复合函数（compound function）其中，u称为中间变量.
例1.7设复合而成的复合函数是.由于的定义域为u≥0，只有1.x2≥0，即时，复合函数才有意义.故这个函数的定义域为[-1，1].
复合函数的中间变量可以是两个或两个以上.在微积分学的计算中，经常会遇到复合函数，并且常常需要将一个比较复杂的复合函数分解成若干个简单的函数.
例1.8已知函数，且复合函数，求f和g.
解由复合而成.
例1.9指出函数是由哪些函数复合而成的.
解是由复合而成的.
（二）反函数
定义1.3设函数y=f（x）的定义域为D，值域为f（D）.若对任一个，均存在唯一的与之对应，即满足f（x）=y，由此说明x是y的函数，称这个函数为y=f（x）的反函数（inverse function），记为.习惯上，以x表示自变量，y表示因变量，故的反函数记为.称为直接函数.例如，的反函数为.
定理1.1若y=f（x）在定义域D上是单调函数，则在D上存在反函数.（证明略）
例如，函数内单调递增，则在存在反函数()x.
四、初等函数
（一）基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
1.幂函数、指数函数和对数函数幂函数、指数函数和对数函数的基本情况简介见表1-2.
表1-2
图1-8
图1-9
图1-10
2.三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx定义域、值域及有关性态列表说明见表1-3.
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