理论篇
　　第1章二维和三维射影几何
　　本节首先通过在欧氏空间引入无穷远元素的方式建立射影平面的概念，然后在射影平面的基础上引入齐次坐标，介绍对偶原理，后面介绍单比与交比的定义.1.1～1.6节的内容是学习二维射影几何的基础，1.7～1.9节的内容是学习三维射影几何的基础.
　　1.1射影平面
　　1.1.1中心射影
　　1.直线到直线的中心射影
　　定义1.1.1设，.是相异且共面的两条直线，点O是该平面上异于l与l.外任一点.若O与l上任一点A的连线OA交l.于A 则定义：A.叫做A点从O投影到l.上的中心射影下的对应点.OA叫做投射线，O叫做投射中心，简称射心.显然A也是A.在l上以O为射心的中心射影下的对应点.或者可以称A.是A在该中心射影下的像，A为A.的原像.图1.1.1给出了直线l到l.的一个中心射影.
　　当直线l与l.有交点X时，该点为自对应图1.1.1直线到直线的中心射影点.若这两条直线平行，则没有自对应点.对于取定的两直线l与l.，取不同的射心，就得到不同的中心射影.
　　如图1.1.1所示，当直线l与l.不平行时，在直线l上存在一点P，使得OPl//.，这样OP与l.不存在交点，即P在l.上不存在像点，称P为l上的消失点.同理，在l.上也存在消失点Q 由于消失点的存在，欧氏几何中直线到直线的中心射影不是一一对应的.
　　2.平面到平面的中心射影
　　给出了直线到直线的中心射影，类似地可以给出平面到平面的中心射影.
　　定义1.1.2设ππ为两个相异的平面，O为不在此二次平面上的任意定点，则由此确定了平面ππ.上的点之间的一个以O为投射中心的中心射影.
　　若O与π上任一点A的连线OA交π于点A，则称A为A在π上的中心射影，直线OA称为投射线.或者，称A.为A在该中心射影下的像，而称A为A.的原像.同样地，平面到平面上点之间的中心射影的逆对应也是中心射影.图1.1.2给出了平面到.π到π上的点之间的一个中心射影.
　　若平面π与π的交线为x，则直线x上的任一点X都是该中心射影的自对应点，进而，直线x为该中心射影下的自对应直线；若平面π与π平行，则没有自对应直线.对于取定的两个平面π和π，不同的投射中心将确定不同的中心射影.
　　如图1.1.2所示，当平面ππ不平行时，与在平面π上存在一条直线u与点O确定的平面平行于平面π.，这样直线u上任一点U与O的连线均与平面π.平行，于是，点U在该中心射影下不存在像点，是消失点，从而，直线u在平面π.上不存在像，称直线u为平面π上的消失线.同样，在平面π.上也存在一条消失线v 由于消失线的存在，欧氏几何中平面到平面上的点之间的中心射影不是一一对应的.
　　1.1.2射影平面上的元素
　　1.无穷远元素
　　为使中心射影是一一对应的，必须要对欧氏平面加以拓广，所以引入无穷远元素.
　　设定一：在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点，称其为无穷远点，记为P 此点在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上.为区别起见，平面上原有的点称为非无穷远点或普通点.
　　设定二：一个平面内一切无穷远点的集合组成一条直线，称为无穷远直线，记作.为区别起见，平面内原有的直线称为非无穷远直线或普通直线.
　　无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线.空间里有无数多个方向，因此有无数多个无穷远点，这些无穷远点的轨迹与每个平面相交于一条无穷远直线.
　　设定三：空间中一切无穷远点的集合组成一个平面，称为无穷远平面，记作π 为区别起见，平面内原有的平面称为非无穷远平面或普通平面.
　　定义1.1.3无穷远点、无穷远直线、无穷远平面统称为无穷远元素.平面上的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线.
　　2.仿射直线和仿射平面
　　定义1.1.4在欧氏直线上添加一个无穷远点后便可以得到一条新的直线，称为仿射直线.
　　仿射直线上的无穷远点把直线左右两端连接起来，仿射直线可视为类似圆的封闭图形.图1.1.3是仿射直线的模型，可以按照图1.1.4的方式建立仿射直线与圆之间的一一对应.在图1.1.4中，设圆C与直线l相切于点A，点B是A的对径点(AB是圆的直径).以B为投射中心建立圆与仿射直线间的中心射影，圆上任一点P.与B的连线交直线l于点P，P为P.在此中心射影下的像.当Q.在圆C上离B越来越近时，Q.的像Q在直线l上离A越来越远，自然地可以定义圆C上点B的像是直线l上的无穷远点.这样的中心射影建立了圆和仿射直线之间的一一对应.
　　仿射直线与普通直线是不同的：在图1.1.3中，仿射直线上任一点A不能将仿射直线分为不连通的两段；而仿射直线上任意的两个非无穷远点A、B把它分为两段，其中一段包含无穷远点，另一段就是原来直线上的线段.仿射直线上的任意三个非无穷远点A、B、D不能排成唯一顺序(一点介于另外两点之间).
　　定义1.1.5在欧氏平面上添加一条无穷远直线就可以得到仿射平面.
　　下面给出欧氏空间中的一个仿射平面的模型.如图1.1.5所示，设有以O为球心的球面，过球心O做平面.交球面于大圆C，这里规定：半球面S为仿射平面，大圆C上的点为无穷远点，并且大圆C的每一直径的两个端点视为相同的无穷远点，半球面上除大圆C外所有的点均为非无穷远点；大圆C为无穷远直线，半球面上的半大圆弧为普通直线，相交于大圆C上同一点的半大圆弧为平行直线.关于半球面和仿射平面之间的一一对应的建立读者可以进行思考.
　　通过分析，仿射平面和普通平面也是不同的：在普通平面上，一条直线可以把平面分为不连通的两部分.但是在仿射平面上，一条仿射直线不能把它分成不连通的两部分.如图1.1.6所示，l是一条仿射直线，A、B在的同一侧.包含无穷远点的线段AB与直线l不相交(两条直线只有一个交点，直线l与不包含无穷远点的直线AB相交).这说明l两侧的点可以用不与l相交的线段连接，于是，直线l不能把仿射平面分为不连通的两部分.同样不难知道，图1.1.7中两条仿射直线l、m将仿射平面分为两个不同的区域Ⅰ和Ⅱ，这里，Ⅰ和Ⅰ是连通的，Ⅱ和Ⅱ也是连通的，但是，Ⅰ和Ⅱ两部分互不连通.
　　给出仿射直线和仿射平面的定义之后，探讨图形的射影性质.
　　引入无穷远元素以后，便可以通过中心射影建立一个平面上两直线上点之间的一一对应，这种一一对应称为透视对应.同样，也可以通过中心射影建立两平面之间点的一一对应，也称为透视对应.
　　3.仿射图形及仿射性质
　　仿射变换可以用代数形式表达：
　　(1.1.1)
　　定义1.1.6图形经过任何仿射变换后都不变的性质(量)，称为图形的仿射性质(仿射不变量).
　　例如，同素性、结合性是图形的仿射性质，单比是仿射不变量.
　　定理1.1.1两条平行直线经过仿射变换后，仍为两条平行直线.
　　推论1.1.1两条相交直线经过仿射变换后，仍为两条相交直线.
　　推论1.1.2共点直线经过仿射变换后，仍为共点直线.
　　定理1.1.2两条平行线段之比是仿射不变量.
　　还可以证明图形的一些其他不变性.
　　定理1.1.3两个三角形面积之比是仿射不变量.
　　推论1.1.3两个多边形面积之比是仿射不变量.
　　推论1.1.4两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
　　下面读者自行证明：在仿射变换下，菱形对应的仿射图形是平行四边形；正方形对应的仿射图形是平行四边形；梯形对应的仿射图形是梯形；等腰三角形对应的仿射图形是三角形.
　　4.射影直线和射影平面
　　定义1.1.7如果把仿射直线上的无穷远点与非无穷远点同等看待而不加以区别，则称这条直线为射影直线.
　　射影直线可看成封闭的，欧氏平面上的圆通常可以看成射影直线的模型(图1.1.8).
　　将射影直线的概念加以推广，就可以得到射影平面的概念.
　　定义1.1.8在仿射平面上，如果对于普通元素图1.1.8射影直线模型和无穷远元素不加以区分，即可得到射影平面.
　　将仿射平面的模型图1.1.5中的无穷远元素和普通元素不加以区分，就得到射影平面的一个模型.射影平面也是封闭的.
　　5.射影基本形和图形的射影性质
　　定义1.1.9经过中心射影(透视对应)后图形的不变性质(量)叫做图形的射影性质(射影不变量).
　　容易证明，同素性和结合性都是射影性质.另外，圆锥曲线经过中心射影后的像还是圆锥曲线，所以说圆锥曲线具有射影性质.圆经过某些中心射影不变，但经过另一些中心射影可能变成其他二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图形不具有射影性质.
　　定义1.1.10一条直线l内所有点ABC.的集合叫做点列，此直线叫点列的底，记为.
　　定义1.1.11一个平面内通过一点O的所有直线的集合叫做线束，O为线束的中心(或顶点)，记为.
　　显然点列与线束都是射影不变图形，但平行四边形、两直线的垂直性等都不是射影不变的.
　　1.2齐次坐标
　　1.2.1齐次点坐标
　　在欧氏直线上建立坐标系后，便有了点和实数间的一一对应，但引入无穷远点后，无穷远点无坐标，为了刻画无穷远点的坐标，引入齐次点坐标.
　　定义1.2.1设欧氏直线上普通点P的坐标为x，则由满足的两个数组成的有序数组叫做点P的齐次坐标，记作；其中.2称为点P的非齐次坐标.当时，即，其中或规定为此直线上无穷远点的一维齐次坐标.
　　由定义可见：
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4)
　　定义1.2.2
　　定义1.2.3
　　定理1.2.1
　　(1.2.1)
　　(1.2.2)
　　(1.2.3)
　　定理1.2.2无穷远直线的齐次方程为
　　(1.2.4)
　　注意：无穷远直线无非齐次方程.
　　1.2.2齐次线坐标
　　平面的点采用齐次坐标后，直线的方程为
　　(1.2.5)
　　定义1.2.4
　　定理1.2.3

目录
理论篇
第1章 二维和三维射影几何 1
1.1 射影平面 1
1.1.1 中心射影 1
1.1.2 射影平面上的元素 2
1.2 齐次坐标 5
1.2.1 齐次点坐标 5
1.2.2 齐次线坐标 6
1.3 对偶原理 7
1.3.1 对偶图形 7
1.3.2 对偶命题与对偶原则 7
1.3.3 代数对偶 7
1.4 单比与交比 8
1.5 射影变换和二次曲线 10
1.5.1 射影变换 10
1.5.2 二次曲线 10
1.6 点与平面 14
1.6.1 空间点的表示 14
1.6.2 平面的表示 14
1.7 二次曲面 15
1.7.1 二次曲面的定义 15
1.7.2 对偶二次曲面 15
1.8 绝对对偶二次曲面 16
第2章 针孔摄像机几何 18
2.1 针孔摄像机概述 18
2.2 针孔摄像机几何模型 19
2.2.1 基本模型 20
2.2.2 主点偏置 21
2.2.3 CCD摄像机 22
2.2.4 摄像机矩阵的一般形式 23
2.3 几何元素在针孔摄像机模型下的投影 25
2.3.1 点在针孔摄像机模型下的投影 25
2.3.2 无穷远平面在针孔摄像机模型下的投影 25
2.3.3 二次曲线在针孔摄像机模型下的投影 26
2.3.4 二次曲面在针孔摄像机模型下的投影 27
2.4 摄像机内参数的约束条件 28
2.4.1 消失点(线)与摄像机内参数的约束 28
2.4.2 圆环点与摄像机内参数的约束 29
第3章 全景摄像机几何 31
3.1 全景摄像机概述 31
3.2 单位视球模型 31
3.2.1 单视点折反射摄像机成像模型 32
3.2.2 基于单位视球的两步投影 33
3.2.3 单位视球模型与折反射成像模型的等价性 34
3.3 几何元素在单位视球模型下的投影(点和直线) 34
3.3.1 点在单位视球模型下的投影 34
3.3.2 直线在单位视球模型下的投影 36
第4章 三维重构 38
4.1 三维重构概述 38
4.2 对极几何与基本矩阵 39
4.2.1 三角原理 40
4.2.2 基本矩阵及其估计 41
4.3 分层重构 43
4.3.1 射影重构 43
4.3.2 仿射重构 44
4.3.3 度量重构 45
实践篇
第5章 圆的针孔摄像机标定方法与问题建模 47
5.1 利用具有三条直径的圆的模板标定摄像机内参数 47
5.2 利用具有一对垂直直径的圆的模板标定摄像机内参数 53
5.3 利用具有两对垂直直径的圆的模板标定摄像机内参数 57
5.4 利用圆与圆的位置关系标定摄像机内参数 60
5.5 利用三个共面圆的投影性质标定摄像机内参数 67
5.6 利用共面圆的公共极点极线和公切线的性质标定摄像机内参数 73
5.7 利用三个共面圆的射影几何性质标定摄像机内参数 83
5.8 利用两个半径相同的分离圆的射影几何性质标定摄像机内参数 88
第6章 平面模板的针孔摄像机标定方法与问题建模 95
6.1 利用三角形模板标定摄像机内参数 95
6.1.1 利用三角形模板与单应矩阵标定摄像机内参数 95
6.1.2 利用等边三角形模板标定摄像机内参数 99
6.2 利用棋盘格标定摄像机内参数 102
6.3 利用等离心率的二次曲线的投影性质标定摄像机内参数 107
第7章 针孔摄像机标定方法与问题建模 117
7.1 利用立方体模板标定摄像机内参数 117
7.2 利用正三棱柱模板标定摄像机内参数 119
7.3 利用正棱台模板标定摄像机内参数 122
7.4 利用球的模板标定摄像机内参数 129
7.4.1 利用球像标定摄像机内参数 129
7.4.2 利用球像的射影几何性质标定摄像机内参数 133
7.5 利用三维控制点标定摄像机内参数 141
7.6 基于未标定摄像机P4P 问题标定摄像机内外参数 145
第8章 中心折反射摄像机标定方法与问题建模 150
8.1 利用直线标定抛物折反射摄像机内参数 150
8.2 利用棋盘格标定抛物折反射摄像机内参数 159
第9章 三维重建方法与问题建模 169
9.1 基本概念 169
9.1.1 单应矩阵 169
9.1.2 基本矩阵 170
9.1.3 基本矩阵与单应矩阵的关系 170
9.2 基本矩阵与射影重建 170
9.2.1 单应矩阵的确定 170
9.2.2 极点的确定 171
9.3 无穷远单应 171
9.3.1 利用无穷远点确定无穷远单应 171
9.3.2 利用三角原理确定空间点的世界坐标 172
9.4 从仿射重建到度量重建 173
9.4.1 利用无穷远点求解圆环点 173
9.4.2 利用圆环点对摄像机内参数提供约束 173
9.4.3 利用三角原理确定空间点的世界坐标 174
9.5 度量重建和仿射重建 174
9.5.1 无穷远单应与仿射重建 174
9.5.2 绝对二次曲线的像与度量重建 174
9.5.3 仿射重建和度量重建原理 175
9.6 三维重建实例 177
9.6.1 双平面镜下的重建 177
9.6.2 双平面镜场景下的成像 177
9.6.3 双平面镜场景下的几何关系 178
9.6.4 计算轮廓的位姿 179
9.7 双目立体视觉三维重建 180
9.7.1 空间三维坐标计算 180
9.7.2 锥面折反射摄像机三维重建 181
9.7.3 利用球像和圆像的射影几何性质进行三维重建 182
第10章 计算机视觉方法在实践中的综合应用 185
10.1 摄像机标定应用于即时定位 185
10.1.1 特征点的提取与匹配 185
10.1.2 恢复图像之间的三维关系 187
10.2 运动场场景下的摄像机标定 189
10.2.1 基础知识 189
10.2.2 求解摄像机内外参数 191
10.2.3 算法步骤 195
技术篇
第11章 图像处理技术 197
11.1 二值化 197
11.2 角点检测 199
11.2.1 Harris角点检测算法 200
11.2.2 SUSAN角点检测算法 202
11.3 边缘检测 203
11.4 霍夫变换 207
11.4.1 直线的霍夫变换 207
11.4.2 圆的霍夫变换 209
11.4.3 椭圆的霍夫变换 211
11.5 图像矫正 212
11.5.1 仿射矫正 213
11.5.2 度量矫正 215
11.6 卷积 217
11.6.1 一维卷积 217
11.6.2 二维卷积 218
11.6.3 互相关 218
11.6.4 卷积的变种 219
11.6.5 卷积的数学性质 219
第12章 数值技术 221
12.1 矩阵分解 221
12.1.1 Cholesky分解 221
12.1.2 奇异值分解 222
12.2 线性方程组的*小二乘解 224
12.2.1 超定非齐次线性方程组的*小二乘问题 224
12.2.2 超定齐次线性方程组的*小二乘问题 229
12.3 直线与二次曲线拟合 231
12.3.1 直线拟合 231
12.3.2 二次曲线拟合 233
参考文献 236