**章 基本概念
一、知识概要
1.把具有某种属性的事物的全体，或是一些确定对象的汇总称为集合或集，组成集合的事物叫做该集合的元素。常用大写字母A，B，C，表示集合，用小写字母a，b，c，表示集合的元素。如果a是集合a的元素，就说a属于A，记作;否则，就说a不属于A，记作a=2A。
含有有限多个元素的集合称为有限集合，由无限多个元素组成的集合称为无限集合，不含任何元素的集合称为空集，记为。如果一个集合a是由一切具有某一性质的元素所组成的，就用记号具有某一性质a来表示。集合的特性:确定性、互异性、无序性。
设A，B是两个集合，如果集合a的每一元素都是集合B的元素，就说a是B的子集，记作aμB或B。A。约定空集是任意集合的子集。如果集合a与B是由完全相同的元素组成的，就说a与B相等，记作a=B。显然A=B"，AB且BA"。
由集合a的一切元素和集合B的一切元素所组成的集合叫做a与B的并集，记作A[B;由集合a与B的公共元素所组成的集合叫做a与B的交集，记作aB。属于集合a但不属于集合B的元素所组成的集合叫做a与B的差，记作aB。
设A;B是两个集合，称为a与B的笛卡儿积.aB是由一切元素对(a;b)所成的集合，其中**个位置的元素a取自A，第二个位置的元素B取自B.
我们约定:N表示全体自然数的集合，Z表示全体整数的集合，Q表示全体有理数的集合，R表示全体实数的集合，C表示全体复数的集合。
2.设A;B是两个非空集合，a到B的一个映射指的是一个对应法则，也就是，对于集合a中每一元素x，有集合B中一个唯一确定的元素y与它对应，常用字母f;g;表示映射。表示f是a到B的一个映射。如果通过映射f，B中与a中的元素x相对应的元素是y，就写为叫做元素x在f之下的像，记作f(x)，x叫做元素y在f之下的一个原像。
若，那么a中一切元素x的像就是B的一个子集，用f(A)表示，即，它叫做a在f之下的像，或映射f的像。
(1)如果f(A)=B，就称f是a到B的一个满射。是满射的充分必要条件是对于B中的每一个元素y，都有a中元素x使得f(x)=y。
(2)如果对于a中任意两个元素x1和x2，只要，就有，就称f是A到B的一个单射。等价叙述:f是单射"，若f(x1)=f(x2)，则x1=x2"。
(3)如果既是满射又是单射，就称f是a到B的双射。如果存在集合a到B的一个双射，也说在a与B的元素之间存在着一一对应。
设是a到B的一个映射，是B到C的一个映射，规定;对一切x2A，(g±f)(x)=g(f(x))，g±f称为f与g的合成。
若给定映射，，那么都是a到D的映射，且。
设a是任意一个集合对于每一个x。A，令f(x)=x与它对应:。这个映射称为集合a的恒等映射。
设|A和|B分别是非空集合A;B上的恒等映射，令是集合a到B的一个映射，那么以下两个条件等价:
(1)f是一个双射;
(2)存在B到a的一个映射g，使得g±f=|A，f±g=|B，并且当条件(2)成立时，映射g是由f唯一确定的。
满足条件(2的映射g:B!a叫做f的逆映射，记作f.1。
设a是一个非空集合，那么a￡a到a的映射叫做集合a的一个代数运算。
3.正整数集N¤的任意一个非空子集S必含有一个*小数，即存在数a2S，对于任意c2S，都有a6c。
**数学归纳法原理设有一个与正整数n有关的命题。如果①当n=1时，命题成立;②假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立。那么这个命题对于一切正整数n都成立。
第二数学归纳法原理设有一个与正整数n有关的命题。如果①当n=1时，命题成立;②假定命题对于一切小于k的自然数成立，则命题对于k也成立。那么这个命题对于一切正整数n都成立。
4.设a，B是两个整数，如果存在一个整数d，使得B=ad，就说a整除b(或B被a整除，用符号a|b表示，这时a叫做B的一个因数，B叫做a的一个倍数。如果a不整除b，就记作a-b。注意，我们知道整数的加、减、乘仍是整数，而整数的商(除数不为0不一定是整数，因而整数的整除性不是整数的运算，而是整数间的一种关系。
整除的基本性质:
(1)a|b;b|ca|c;
(2)a|b;a|ca|(b+c）;
(3)a|b，而;
(4)a|bi，而ci2Z，i=1;2;
(5)每一个整数都可以被1和-1整除;
(6)每一个整数都可以被它自己和它的相反数整除;
(7)a|b且b|aB=a或B=.a。
(带余除法）设a，B是整数且a6=0，那么存在一对整数q和r，使得B=aq+r且06r<|a|。满足以上条件的整数q和r是唯一确定的，q和r分别称为a除B所得的商和余数.
设a，B是两个整数，如果存在一个整数d满足:
(1)d|a且d|b(即d是a和B的一个公因数;
(2)如果c2Z，且c|a，c|b，就有c|d(即d能被a和B的任一公因数整除，则称d为a与B的一个*大公因数。a1;a2;;an的*大公因数类似定义。注意，*大公因数"中的*大"的含义非公因数中的*大者"，而是能被任一公因数整除的公因数。
任意n(n>2)个整数a1;a2;;an都有*大公因数。若d是a1;a2;;an的一个*大公因数，那么.d也是一个*大公因数;a1;a2;;an的两个*大公因数至多相差一个符号，非负的那一个记作(a1;a2;;an)。
设d是整数a1;a2;an的一个*大公因数，那么存在整数t1;t2;tn，使得t1a1+t2a2++tnan=d。但反之不成立。
设a;B2Z，若(a;b=1，则称a，b互素;一般地，设a1;a2;;an2Z，若(a1;a2;an=1，则称这n个整数a1;a2;;an互素。n个整数a1;a2;an互素的充要条件是存在整数t1;t2;;tn，使得t1a1+t2a2++tnan=1。
一个正整数p(p>1如果除1和p外，没有其他的因数，则称p为素数。一个素数如果整除两个整数a与B的乘积，那么它至少整除a与B中的一个。
5.设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a，B来说，a+b，ab和ab都属于S，那么就称S是一个数环。设F是一个数环，如果①F含有一个不等于零的数;②如果a，B2F，且B6=0，则ab2F，那么就称F是一个数域。任何数域都包含有理数域Q。
二、重点与难点
集合概念、证明集合相等。
映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。
数学归纳法自身的理论证明，数学归纳法应用中的第二步。
整除、*大公因数性质、互素有关的证明。
数环和数域的概念。
三、学习目标
掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法。
掌握映射的概念，映射的合成、满射、单射、可逆映射的判断。
理解*小数原理，掌握**数学归纳法和第二数学归纳法。
理解和掌握整除及其性质，掌握*大公因数性质、求法，理解互素、素数的简单性质。
掌握数环和数域的概念及判断方法。
四、练习(A)
1.写出含有四个元素的集合{a1;a2;a3;a4}的一切子集.
2.下列论断哪些是对的，哪些是错的？对于错的举出反例，并把错误的论断改正过来。
3.证明下列等式:
4.对于任意x2R，令，证明f是全体实数R到全体正实数R+的双射。
5.设f定义如下:问:f是不是R到R的映射，是不是单射，是不是满射？
6.设R+是全体正实数所构成的集合，令
(1)g是不是R+到R+的双射？
(2)g是不是f的逆映射？
(3)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？
7.设，是映射，又令h=g±f，证明:
(1)如果h是单射，那么f也是单射;
(2)如果h是满射，那么g也是满射;
(3)如果f;g都是双射，那么h也是双射，并且h.1=(g±f).1=f.1±g.1。
8.用数学归纳法证明:含有n个元素的集合的一切子集的个数等于2n。
9.对于下列整数a，b，分别求出以a除B所得的商和余数:
(1)a=17，B=-235;
(2)a=-8，B=2;
(3)a=-9，B=-5;
(4)a=-7，B=-58。
10.设a，B是整数且不全为零，而a=da1，B=db1，d;a1;b12Z。证明:d是a与B的一个*大公因数必要且只要(a1;b1)=1。
11.设是两两互不相同的素数，而a=1+p1p2pn。
(1)证明:;(2)利用(1)证明素数有无穷多个。
12.证明:如果一个数环，那么S含有无限多个数。
13.证明:是一个数环。S是不是数域？
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