第1章*线坐标系和张量分析
流体力学是力学的基础课程，内容丰富、科学性和系统性强，与其他学科关系密切，具有广泛的应用性。数学是建立流体力学模型和求解模型解析解的基础，17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨创立了微积分后，才有了牛顿力学体系的建立和发展。本章将介绍流体力学广泛采用的数学工具——张量。
张量的概念可能大家还不熟悉，实际上我们早已接触过的向量，就是张量，它可以用一个一维数组表示，是一阶张量，而我们在线性代数中接触的矩阵，每个元素可以用，两个指标来定位，就是可以用一个二维数组来表示，是二阶张量。再如我们见到的魔方，如果每一个魔方单元对应一个元素，每个元素可以用三个指标来定位，也就是用一个三维数组～来表示，是三阶张量。张量分析一直在理论物理中占有突出重要的地位，冯元桢先生曾说过：美丽的故事需要用美丽的语言来讲述，张量就是力学的语言。
1.1*线坐标系
在三维欧几里得空间里使用*广泛的度量体系是笛卡儿直角坐标系，它是由原点0和过0点作的三个相互正交（垂直）的单位向量蚵组成的直角坐标系统。从原点o到空间任一点的向径是个向量，记为，它由向径x在直角坐标系中的三个有序分量来表示，如图所示，有序数组为向量在直角坐标系中的坐标。如果在三维欧几里得空间中选取3个不共面的向量，空间任一向量；c将对应于一个有序数组，即，称为在该*线坐标系中的坐标。向量容称为坐标向量或基向量，简称基，所在的直线称为坐标轴，两条坐标轴所决定的平面称为坐标平面。基向量相互正交的坐标系称为正交坐标系，坐标轴间的夹角不全为直角的坐标系称为仿射坐标系。如图1-1（b）所示，非笛卡儿坐标轴的三条有向线段构成仿射坐标系，有序数组为向量x在该仿射坐标系中的坐标，由向量向坐标轴作垂线，垂足所截取的线段长就为该向量在对应坐标轴上的坐标。
【例1-1】证明：在空间中选取3个不共面的向量尽，对空间任一向量x，都存在唯一的三元有序数组。
证明：任取一向量x，若有
如果不全为零，即上式有非零解，则沿，必然线性相关，客3共面。所以，必然全为零。
证毕。
1.1.1基向量
在*线坐标系中，向量A：的微分可表不为
根据Einstein求和约定（单项中有标号出现两次表示对这一标号求和，把这样的标号定义为求和指标或哑标），有
定义基向量：
则
定义拉梅系数:
定义长度（模）为1的基向量为单位基向量～显然
（对化不求和）
注意：的下标i不计入Einstein求和约定，即上式对i不求和。式（1-1-3）表示为
（对hi不求和）（1-1-6）
第1章*线坐标系和张量分析
（a）笛卡儿直角坐标系
（b）柱坐标系图1-2右手正交坐标系
（c）球坐标系
【例1-2】求柱坐标的基向量和单位基向量。
解：已知，根据式（1-1-2），柱坐标的基向量为
根据式（1-1-4），计算得
1.1.2基向量对*线坐标的微分
在物理和力学问题中，经常要计算向量的微分，直角坐标系下，基向量，树是定常的，
所以微分为0，但在其他*线坐标系下，基向量往往是坐标的函数，例如，在柱坐标系中，它们是的函数，因此在向量微分时必然要考虑基
对于右手正交坐标系（在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向3；轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手正交坐标系，如图l-2（a）所示），成立，其中sijk为置换符号（permutation　symbol），满足
0，有两个指标相同
正序排列：
逆序排列：
柱坐标系（图1-2（b））和球坐标系1-2（c））也是右手正交坐标系。另外，定义Kronecker符号：置换符号可用Kronecker符号表示为
向量对坐标的偏导，即它满足公式：
由于；和相互*立，
的推导过程。
有
上式等号两边点乘有
由于当时，有
上式两边对x，微分，这里有
上式有三种情况，分别为
将式中三个算式相加除以2，得
式（l-l-8d）与式中任一算式相减，用大写字母表示下标，得
因为所以，即，结合式，与.同向可证，
因此式（l-l-8a）表示为
【例1-3】求柱坐标单位基向量对*线坐标的微分。
解：显然，仅是的函数，对，的偏导数为0，只有%，%不为0。
另一种求解方法如下。根据式（1-1-8），有
流体力学基础
1.1.3正交变换
同一个向量在不同基中的坐标一般是不同的，那么随着基的改变，向量在不同基中的坐标有关系吗？
令向量JC在两组*线坐标系中的坐标值分别为（wx3）和，即
记为
（1-1-9）
根据例1-1证明的向量在坐标系中对应坐标的唯一性，X'坐标系中的基向量<在X坐标系中显然有相应的唯一对应的坐标，记为<=4尽，代入式（1-1-9），得
显然，有
即易是x）的单值函数，记为易二：，同理可证，X丨+是易的单值函数，即:
于是，可得两组坐标值之间存在单值函数关系，即

目录
第1章 *线坐标系和张量分析 1
1.1 *线坐标系 1
1.1.1 基向量：1 2
1.1.2 基向量对*线坐标的微分 3
1.1.3 正交变换 6
1.2 张量分析 10
1.2.1 张量运算 11
1.2.2 场论 13
1.2.3 二阶张量 17
课后练习 18
第2章 流体的物理性质和运动描述 19
2.1 流体的物理性质 19
2.1.1 物理状态 19
2.1.2 连续介质假设 20
2.1.3 流体的可压缩性与热膨胀性 21
2.1.4 流体的输运性质 23
2.2 流体运动学 26
2.2.1 流体运动的描述 26
2.2.2 迹线、流线和脉线 28
2.2.3 流场中的速度分解 34
2.2.4 作用于流体上的力 38
2.2.5 本构关系 42
课后练习 45
第3章 流体运动基本方程 48
3.1 雷诺输运定理 48
3.1.1 系统与控制体 48
3.1.2 物质积分 48
3.1.3 物质的随体导数（输运定理） 49
3.2 守恒方程 50
3.2.1 质量守恒 50
3.2.2 动量守恒 52
3.2.3 流体静力学 56
3.2.4 能量守恒 59
3.3 热力学方程 63
3.3.1 状态方程 63
3.3.2 完全气体的内能 64
3.3.3 等熵过程（理想绝热） 65
3.4 初始和边界条件 66
3.4.1 初始条件 66
3.4.2 边界条件 66
3.5 量纲分析与流体模型 67
3.5.1 量纲分析 67
3.5.2 n定理 69
3.5.3 相似性原理 70
3.5.4 流体模型73
课后习题 75
第4章 控制方程的积分关系及应用 77
4.1 无黏流体的伯努利积分 77
4.1.1 定常流动的伯努利积分 77
4.1.2 无旋流动的拉格朗日积分 83
4.2 积分方程及其应用 86
4.2.1 积分形式的连续性方程 86
4.2.2 动量定理积分方程 87
4.2.3 动量矩积分方程 88
4.2.4 能量定理积分方程 90
课后习题 94
第5章 流体的涡旋运动 97
5.1 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 97
5.1.1 涡旋运动的基本概念 97
5.1.2涡量输运方程 101
5.2 无黏流体的涡量输运方程102
5.2.1 流体运动中速度环量的变化 102
5.2.2 涡保持定理 103
5.3 感生速度场 105
5.3.1 涡旋感生速度场 105
5.3.2 涡线感生速度场 107
5.3.3 点涡 110
5.4 涡旋运动的产生、扩散及衰减 116
5.4.1 流体非正压的影响 116
5.4.2 地球自转的影响 117
5.4.3 黏性的影响 119
课后习题 124
第6章 无旋运动势函数及其在小振幅波中的应用 126
6.1 势函数 126
6.1.1 势函数的定义及无旋运动的性质 126
6.1.2 势函数的应用 128
6.2 液体表面波分析 130
6.2.1 基本方程 130
6.2.2 波动方程的量纲分析 132
6.3 平面小振幅简谐波 135
6.3.1 进行波 135
6.3.2 驻波 139
6.4 深水波和浅水波 141
6.4.1 深水进行波 141
6.4.2 深水驻波 144
6.4.3 浅水长波 147
6.5群波 149
6.6 波动的能量、波阻 152
6.6.1 动能 152
6.6.2 势能 153
6.6.3 能量的传递 153
6.6.4 波阻 154
波阻 155
第7章 流函数及复速度势应用 156
7.1 流函数 156
7.1.1 不可压缩流体的平面无旋流动 156
7.1.2 不可压缩流体的轴对称无旋流动 159
7.1.3 流函数应用实例 162
7.2 平面无旋不可压缩流动的复势 165
7.2.1 复势 165
7.2.2 基本流动的复势 166
7.2.3 复势的叠加（奇点分布法解平面势流问题） 171
7.3 柱体绕流受力和力矩 174
7.3.1 布拉休斯定理 174
7.3.2 茹科夫斯基升力定理 175
7.4 平面势流问题求解 177
7.4.1 镜像法 177
7.4.2 保角变换法 181
7.4.3 茹科夫斯基变换及其应用 185
课后习题 190
参考文献 192