**章 有限元方法引论
§1.1 有限元法简介
有限元法的基本思想是将一个连续域离散化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体，由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域，有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达，这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解，显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解*后将收敛于精确解。
虽然近些年才采用了有限元这个名字，但有限元的概念在几个世纪以前就已经用过了，例如古代数学家用多边形逼近圆的办法求出圆周长。现代有限元法**个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner，clough等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果，他们**次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答，随着高速计算机的发展，有限元的应用也以十分惊人的速度发展，现在有限元法已被工程师和科学家们公认是一种完善的和方便的分析工具。40多年来，有限元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域，在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计并和计算机辅助设计技术相结合，鉴于本书是大学生教科书，其重点是介绍线性静力分析内容。
§1.2 有限元分析的一般过程
采用有限元法时，先把连续体或结构划分为若干个有限大小的单元，这就叫“有限单元”或简称为“有限元”，它们的形状随所选的模型不同而异，如面元可以是三角形、矩形或四边形等，各个单元的大小可以不同，排列方式也没有严格的要求，每个单元通过一些特定的“结点”与周围其他单元联结，例如图1-1所示。
有限元法解题的整个过程扼要叙述如下：
步骤1：结构的离散化，有限元法的**步，是把结构或连续体分割成许多单元，因而在着手分析时，必须用适当的单元把结构模型化，并确定单元的数量、类型、大小和布置。
步骤2：从区域或结构中取出其中一个单元来研究，选择适当的插值模式或位移模式近似地描述单元的位移场，由于在任意给定的载荷作用下，复杂结构的位移解不可能预先准确地知道，因此，通常把插值模式取为多项式形式，从计算的观点看多项式简单，而且满足一定的收敛要求，单元位移函数用多项式来近似后，问题就转化为如何求出结点位移，结点位移确定后，位移场也就确定了。
图1-1 有限元网格划分
步骤3：单元刚度矩阵和载荷向量的推导，根据假设的位移模式，利用平衡条件或适当的变分原理可以推导出单元的刚度矩阵和载荷向量。
步骤4：集合单元方程得到总的平衡方程组，连续体或结构是由许多个有限单元组合而成，因此，对整个连续体或结构进行有限元分析时，就需进行组合，把各个单元刚度矩阵和载荷向量按适当方式进行组合，从而建立如下形式的方程组：
(1-1)
式(1-1)是结点上内力与外力的平衡方程，称为总体刚度平衡方程或简称总刚度方程，其中，称为总刚度矩阵；是整体结构的结点位移；是作用在整个结构的有限元结点上的外力。
步骤5：求解未知结点位移，按问题的边界条件修改总的平衡方程，使结构不可刚体移动，对于线性问题可以很容易地从代数方程组中解出结点位移。
步骤6：单元应变和应力的计算，可根据已知的结点位移利用固体力学或结构力学的有关方程算；H单元的应变和应力。
§1.3 有限元法在结构分析中的地位
**的弹性力学方法在处理复杂的结构问题时，尽管人们做了极大努力，但真正解决的问题却为数不多，而做过某些简化的结构力学方法，在以往的结构设计和计算中是可行的，也广泛地得到应用，但所需人员之多，计算周期之长也是不可讳言的，有限元法是在力学原理基础上，以电子计算机为下具，简便而有效的对复杂工程结构问题进行数值分析的方法，随着有限元法的数值分析理论和计算机技术的发展，使越来越复杂的工程问题和大型结构的分析用有限元法求解成为现实，各类专用、通用有限元结构分析软件已经成为力学理论工作者和从事结构工程的技术人员不可或缺的分析下具，结构分析工作所耗人力、时间大大减小，所以说对于从事结构设计与分析的工程人员来说，掌握和运用有限元法是必不可少的，通过学习有限元基础理论和编程实践，一方面能有效地利用现有的成果和计算程序，掌握正确的建模技术，很好地解决工程实际问题，另一方面也具有改进现有方法和计算程序并发展新的单元、算法以及计算程序的能力。
为了很好地求解一个工程结构，除了拥有大容量高速度的计算机和高级计算软件外，还有十分重要的一条就是要建立一个好的有限元分析模型，未经系统训练或只听过有限元引论讲座的人使用功能很强的有限元程序解题是不太适宜的，他们不能对计算机所提供的结果进行正确的判断，从而无法对计算模型做必要的修改，盲目地相信计算机提供的结果是相当危险的。要知道，尽管计算程序已经过严格鉴定，但你的有限元模型中可能会有潜在的危险，只有当模型能如实地反映结构的几何形状、材料特性、传力路线、承载方式及边界约束条件等因素时才有可能取得一个接近真实的分析结果，要建立一个好的模型，必须有丰富的经验和良好的工程直感。因此，本书不仅介绍有限元法的基本理论，也重点介绍结构建模技术，在掌握有限元基本原理基础上，进一步掌握建模技术，将为学员今后从事像航空结构这类复杂组合结构的分析，提供更实际、更有效的帮助。
有限元程序设计是学习有限元法的实践性环节，在科学技术发展的今天，有限元法取得了巨大的进展，很多通用程序和专用程序投入了实际应用，成功地解决了大批有重大意义的问题，但是，有限元程序设计仍有存在的必要，因为，了解有限元法的理论，与在实际下作中理解或应用有限元程序之间，仍有很大距离，*先，进行科学研究和解决某些特殊的工程问题时仍可能借助于自行编制的各种专用有限元分析程序，其次，学习有限元程序设计原理，能够帮助学员进一步巩固有限元法的概念，熟悉结构分析的过程，使得在使用各种大型结构分析软件时做到心中有数，另一方面，以有限元法为媒介进行基本的编程训练，也对学员掌握一般的程序设计方法有实际的帮助，这对于今后从事更为复杂庞大的程序设计下作或从事其他工程领域的下作是不无裨益的，学习有限元程序设计的重点是掌握数据的表达方式、数据结构和算法，所以，在理解有限元法的基本原理、建模技术的基础上，进一步掌握有限元程序设计的方法，一方面能有效地利用现有的成果和计算程序，另一方面能具有改进现有方法和计算程序、发展新的单元和数值方法以及计算程序的能力。
第二章 杆系结构有限元法
杆系结构的共同点是它们本身含有有限个自然结点，对于桁架结构，这些结点就是二力杆端部的铰接点，对于刚架结构，这些自然结点或是结构的转折点，或者是集中载荷作用点，全结构被这些自然结点离散化为有限个单元，桁架可以视为仅能承受轴向拉压的杆单元的集合，刚架可视为既承受弯、剪，又承受轴力及扭转的梁单元的集合。
杆单元和梁单元是有限元法中*简单的单元，对这些单元进行分析，有较清晰的物理意义，其结论在很大意义上反映了有限元法的本质，本着先简后繁，先易后难的原则，先从杆元、梁元进行分析，其目的是得出有限元法共同的、规律性的东西。
§2.1 杆单元
2.1.1 一般规定
图2-1表示某一杆单元ij，现约定附属于该单元的局部坐标系为，i点为原点，z轴沿着杆轴线，其正方向为由i指向j，其余各轴按右手螺旋规则确定，设为杆元结点位移分量，为结点力分量，上述分量一律规定和坐标轴正向一致时为正，设杆的长度为z，弹性模量为E，横截面积为A。
图2-1 杆单元结点位移、结点力分量
2.1.2 位移函数（形状函数）
对于铰接杆单元，在小变形假设的前提下，与杆垂直方向的位移并不使杆产生应变和应力，于是，对每一个结点只需考虑一个结点位移及结点力，因而只需研究如图2-2所示的杆单元即可。
图2-2 二力杆单元
单元在结点力作用下各点的位移叫内位移，描绘内位移的函数叫位移函数，由材料力学知道：仅受轴向作用的二力杆，其应力及应变在轴线各点处均是恒定常数，因而位移沿杆子轴线呈线性变化，即
(2-1)
这就是二力杆单元的位移函数，式中是两个待定常数，可由两结点的位移惟一确定，当
(2-2)
将式(2-2)代入式(2-1)有，从而可得
(2-3)
将式(2-3)中的a1，a2值代入式(2-1)得
或写成
通常用代表单元内位移
(2-4)
其中
在有限元法中，叫做i点、j点的形状函数或插值函数，叫形状函数矩阵。形状函数矩阵十分重要，它把单元的结点位移和单元的内位移连接起来了，显然形状函数矩阵中的每一个元素都是坐标的函数。
下面分析式(2-4)：当时，杆单元的位移就是N，当时杆单元的位移分布就是Nj，所以形状函数的力学含义是当单元的一个结点位移为单位值，其他结点的位移为零时，单元内位移的分布规律，杆单元形状函数Ni，Nj如图2-3所示，当结构变形之后，点的位移通常都不为零，这时单元内位移按式(2-4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求得，正因为形状函数反映了单元的位移分布形态，矩阵[N]及其元素Ni，Nj也由此而得名为形状函数
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