第1章 随机事件
　　在人类社会的生产实践和科学实验中， 人们所观察到的现象大体上可分为两种类型. 一类是事前可以预知结果的， 即在某些确定的条件满足时， 某一确定的现象必然会发生， 或根据它过去的状态， 完全可以预知其将来的发展状态. 我们称这一类型的现象为必然现象. 例如， 在一个标准大气压下， 水在100℃时一定沸腾; 两个同性的电荷一定互斥; 冬天过去， 春天就会到来， 等等. 还有另一类现象， 它是事前不能预知结果的， 即在相同的条件下重复进行试验时， 每次所得到的结果未必相同， 或即使知道其过去的状态， 也不能肯定其将来的发展状态. 我们称这一类型的现象为偶然现象或随机现象. 例如， 抛掷一枚质地均匀的硬币， 硬币落地后的结果可能是带币值的一面朝上， 也可能是另一面朝上， 但在每次抛币前， 不能准确地预知抛币后的结果; 又如， 某射击运动员用一支步枪在同一地点进行射击训练， 每次射击的成绩(环数)可能不同， 等等.
　　虽然随机现象在一定的条件下， 可能出现这样或那样的结果， 且在每一次试验或观测之前不能预知这一次试验的确切结果， 但人们经过长期的、反复的观察和实践， 逐渐发现了所谓结果的“不能预知”只是对一次或少数几次试验和观察而言的. 当在相同条件下进行大量重复试验和观测时， 试验的结果就会呈现出某种规律性. 例如， 多次抛掷质地均匀的硬币时， 出现带币值的一面朝上的次数约占抛掷总次数的一半. 这种在大量重复性试验和观察时， 试验结果呈现出的规律性， 就是我们以后所讲的统计规律性. 概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的数学分支.
　　1.1 基本概念
　　1.1.1 随机试验与事件
　　为了叙述方便， 我们常把对某种现象的一次观察、测量或进行一次科学实验， 统称为一个试验. 如果这个试验在相同的条件下可以重复进行， 且每次试验的结果是事前不可预知的， 则称此试验为随机试验， 也简称为试验， 记为E. 以后所提到的试验都是指随机试验.
　　进行一次试验， 总要有一个观测目的. 试验中可能观测到多种不同的结果. 例如， 抛掷一枚质地均匀的硬币， 如果观测的目的只是看硬币落地后哪一面朝上， 这时， 可能观测到的结果就有两种：带币值的一面朝上或另一面朝上， 至于硬币落在了什么位置、落地前转了几圈等均不在观测目的之列， 当然也就不算在试验的结果之内.
　　下面是一些试验的例子.
　　E1：掷一颗骰子， 观察所掷的点数是几;
　　E2：工商管理部门抽查市场某些商品的质量， 检查商品是否合格;
　　E3：观察某城市某个月内交通事故发生的次数;
　　E4：已知某物体的长度在a和b之间， 测量其长度;
　　E5：对某型号电子产品做实验， 观察其使用寿命;
　　E6：对某型号电子产品做实验， 观察其使用寿命是否小于200小时.
　　对于随机试验， 尽管在每次试验之前不能预知其试验的结果， 但试验的所有可能结果所组成的集合却是已知的. 我们称试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间， 记为Ω. 样本空间的元素， 也就是随机试验的单个结果称为样本点.
　　在前面所举的6个试验中， 若以Ωi表示试验Ei的样本空间， i=1， 2， ， 6， 则
　　Ω1={1， 2， 3， 4， 5， 6};
　　Ω2={合格品， 不合格品};
　　Ω3={0， 1， 2， };
　　Ω4={. ， a b};
　　Ω5={t， t. 0};
　　Ω6={寿命小于200小时， 寿命不小于200小时}.
　　需要说明的是：在E3中， 虽然该城市每个月内发生交通事故的次数是有限的， 一般不会非常大， 但一般说来， 人们理论上很难定出一个交通事故次数的有限上限. 为了方便， 我们通常把上限视为∞. 这样的处理方法在理论研究中经常被采用. 同样， 在E5中我们也作了类似的处理.
　　我们把样本空间的任意一个子集称为一个随机事件， 简称事件， 通常用大写字母A， B， C， 表示. 因此， 随机事件就是试验的若干个结果组成的集合. 特别地， 如果一个随机事件只含一个试验结果， 则称该事件为基本事件.
　　例1.1.1掷一颗骰子， 用A1={1}， A2={2}， ， A6={6}分别表示所掷的结果为“一点”至“六点”， B表示“偶数点”， C表示“奇数点”， D表示“四点或四点以上”. 若试验的目的是观察所掷的点数是几， 试写出样本空间; 指出A1， A2， ， A6， B， C， D事件中哪些是基本事件; 表示事件B， C， D. 解试验有6种不同的(可能)结果A1， A2， ， A6， 样本空间Ω={1， 2， 3， 4， 5， 6}; A1， A2， ， A6都是基本事件; B={2， 4， 6}， C={1， 3， 5}， D={4， 5， 6}.
　　例1.1.2观察某城市单位时间(例如一个月)内交通事故发生的次数， 若以Ai={i}表示“该城市单位时间内交通事故发生i次”， i=0， 1， 2， ， 则样本空间Ω={0， 1， 2， }， Ai={i}是基本事件， i=0， 1， 2， . 若随机事件B表示“至少发生一次交通事故”， 则B={1， 2， }. 若随机事件C表示“发生交通事故不超过5次”， 则C={0， 1， 2， 3， 4， 5}， 等等.
　　在试验中， 当事件(集合)中的一个样本点(元素)出现时， 称这一事件发生. 例如， 在例1.1.1中， 当投掷的结果为“四点”时， 事件A4， B， D均发生.
　　由于样本空间Ω包含了所有的样本点， 且是Ω自身的一个子集， 在每次试验中它总是发生， 所以称Ω为必然事件. 空集. 不包含任何样本点， 它也是样本空间的一个子集， 且在每次试验中总不发生， 所以称. 为不可能事件.
　　1.1.2 事件的关系与运算
　　既然事件是一个集合， 因此有关事件之间的关系、运算及运算规则也就按集合之间的关系、运算及运算规则来处理. 根据“事件发生”的含义， 不难给出事件之间的关系与运算的含义.
　　设Ω是试验E的样本空间， A， B， C及A1， A2， 都是事件， 即Ω的子集.
　　1. 若事件A发生必有事件B发生， 则称事件A包含于事件B， 或事件B包含事件A， 记为A. B.
　　从“事件是样本空间的子集”的观点看， A. B表示集合A包含在集合B之中， 即B要比A大或一样大. 例如， 在例1. 1. 1中， A1={1}. C={1， 3， 5}， A2={2}. B={2， 4， 6}.
　　若A. B， 且B. A， 则称事件A与B相等， 记为A=B.
　　2. 对两个事件A与B， 定义一个新事件
　　C={A发生或B发生}，
　　则称C为A与B的并或和(通常称并)， 记为C=A∪B或C=A+B(常用前者).
　　从定义容易看出， 只要事件A与B中至少有一个发生， 事件C就发生. 因此， A与B的并就是把A与B所包含的试验结果合并在一起. 例如， 在例1. 1. 1中， A1={1}， C={1， 3， 5}， D={4， 5， 6}， 则A1∪C={1， 3， 5}， C∪D={1， 3， 4， 5， 6}.
　　事件的并可以容易地推广到多个(有限或可列无限)的情形. 例如n个事件A1， A2， ， An的并C， 记为， 定义为
　　对可列无限个事件A1， A2， ， 可以类似地定义它们的并C， 记为
　　在例1. 1. 2中， 观察某城市某月内交通事故发生的次数， 用Ai表示该月发生i次交通事故， 则Ai={i}， i=0， 1， 2， . 定义C1={该月发生交通事故不超过10次}， 则
　　如果定义C2={该月发生交通事故10次或10次以上}， 则
　　3. 对两个事件A与B， 定义一个新事件
　　C={A与B都发生}，
　　称为事件A与B的交或积， 记为C=A∩B或C=AB.
　　从“事件是样本空间的子集”的观点看， C=AB就是集合A与B的公共部分. 在例1. 1. 1中， A1C={1}， A2B={2}， CD={5}.
　　类似地， 我们也可以定义多个事件A1， A2， 的交， 根据事件个数的有限和无限分别定义
　　特别地， 若， 则称A与B为互斥事件， 简称A与B互斥， 这也就是说事件A与B不可能同时发生. 例如， 在例1. 1. 1中， A1={1}， A2={2}， 于是A1A2= 所以， 事件A1与A2互斥. 又如， 对B={2， 4， 6}和C={1， 3， 5}， 也有BC=. ， 事件B与C也互斥.
　　4. 对两个事件A与B， 定义一个新事件
　　C={A发生， B不发生}，
　　称为事件A与B的差， 记为C=A. B.
　　直观上容易理解， A-B就是在事件A所包含的试验结果中除去事件B所包含的试验结果后所剩下的部分.
　　特别地， 称Ω. A为A的对立事件或A的补事件， 记为A. 显然， A={A不发生}， A∪A=Ω， 并且A与A总是互斥的. 例如， 在例1.1.1中， A1={1}， 于是A1={2， 3， 4， 5， 6}， 而B={2， 4， 6}， 因而B={1， 3， 5}.
　　在这里， 我们用平面上的一个矩形表示样本空间Ω， 矩形内的每个点表示一个样本点， 用两个小圆分别表示事件A和B， 则事件的关系与运算可用图1. 1来表示， 其中A∪B， AB， A. B， A分别为图中阴影部分.
　　图1. 1 事件关系与运算图
　　在进行事件的运算时， 经常要用到如下规则.
　　交换律：A∪B=B∪A， AB=BA;
　　结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C， A(BC)=(AB)C;
　　分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC)， A∪(BC)=(A∪B)(A∪C);
　　对偶律：
　　对于多个随机事件， 上述运算规则也成立. 例如，
　　等等.
　　此外， 还应注意到等.
　　1.2 事件的概率
　　除必然事件和不可能事件外， 一个事件在一次试验中可能发生， 也可能不发生. 我们常常需要知道某些事件在一次试验中发生的可能性大小， 揭示出这些事件的内在的统计规律， 以便使我们能更好地认识客观事物. 例如， 知道了某食品在每段时间内变质的可能性大小， 就可以合理地制定该食品的保质期; 知道了河流在造坝地段最大洪峰达到某一高度的可能性大小， 就可以合理地确定造坝的高度等. 为了合理地刻画事件在一次试验中发生的可能性大小， 我们先引入频率的概念， 进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数字度量——概率.
　　1.2.1 事件的频率
　　定义1.2.1设A是一个事件. 在相同的条件下， 进行n次试验， 在这n次试验中， 若事件A发生了m次， 则称m为事件A在n次试验中发生的频数或次数， 称m与n之比m/n为事件A在n次试验中发生的频率， 记为fn(A).