第1讲 求极限的若干方法
极限理论是数学分析的重要基础，求极限贯穿于数学分析的始终，其方法多种多样，这一讲介绍几种比较简便的方法。
1.1 用导数定义求极限
导数是用极限定义的，现在反其道而行之，利用导数定义来求某些数列及函数的极限。
例1.1.1 计算
解 原式
例1.1.2 计算
解 原式
例1.1.3 计算
解 原式或原式
例1.1.4计算
解 原式
例1.1.5 计算
解 原式
例1.1.6 计算
解原式
例1.1.7 求
解 设，则
所以，原式
例1.1.8 设f（x）在a点可导，f（a）>0，计算，
解 原式
例1.1.9 设f（x）在x0处二阶可导，求
解 原式
例1.1.10设
解 原式
例1.1.11 设存在，计算
解 原式
例1.1.12 计算是为自然数．
解 原式
习题1-1
1．计算下列极限，
2．设f（x）在x0处二阶可导，计算
3．设存在，计算
4．设存在，计算
1.2 用拉格朗日中值定理求极限
众所周知，拉格朗日中值定理是理论证明的有力工具，实际上，它在计算某些函数的极限时也非常简便有效，
例1.2.1 计算
解 原式
例1.2.2 计算
解 原式
例1.2.3 计算
解 原式，其中位于与之间，位于与之间，
例1.2.4 计算
解原式
例1.2.5 计算
解原式
例1.2.6 计算
解 原式
例1.2.7计算
解 原式
例1.2.8 计算
解原式
例1.2.9 计算
解 原式
例1.2.10 计算
解原式
用柯西中值定理更简单，记，则
原式
习题1-2
1．求下列极限。
2．设f（x）在a处可导，计算
1.3 用等价代换求极限
大家知道，若，且，在附近不为0，则。事实上，因为，即等价代换不改变极限的存在性和极限值。
1．由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换及其应用
先利用拉格朗日中值定理给出下述一般命题：
命题1.3.1 设
（1）在的一个邻域内连续，且
（2）在的一个邻域内可导且在处连续。则
证 由拉格朗日中值定理和题设条件有
其中介于与之间，于是
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