第1章 复变函数与解析函数
　　1.1 复数
　　1.1.1 复数的概念
　　由于解代数方程的需要，人们引进了复数。例如，简单的代数方程
　　x2+1=0
　　在实数域内无解。为了建立代数方程的普遍理论，引入等式
　　i2=-1
　　由该等式所定义的数称为虚数单位i=-1，并称形如x+iy或x+yi的表达式为复数，其中x和y是任意两个实数。把这里的x和y分别称为复数z=x+iy(或z=x+yi)的实部和虚部，并记做
　　x=Rez，y=Imz
　　当复数的虚部为零，实部不为零(即y=0，x≠0)时，复数z=x+iy=x+0i=x为实数，而虚部不为零(即y≠0)的复数称为虚数。在虚数中，实部为零(即x=0，y≠0)的称为纯虚数。例如，3+0i=3是实数，4+5i，-3i都是虚数，而-3i是纯虚数。
　　复数x-iy称为复数z=x+iy的共轭复数(其中x，y均为实数)，并记做z。显然，z=x+iy是x-iy的共轭复数，并有z=(z)=z。
　　1.1.2 复数的四则运算
　　设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2是两个复数，如果x1=x2，y1=y2，则称z1和z2相等，记为z1=z2。
　　复数z1，z2的加、减、乘、除运算定义如下：
　　(1) z1±z2=(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)；
　　(2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)；
　　(3)
　　不难验证，这些运算满足如下运算规律：
　　(1) 交换律z1+z2=z2+z1，y1y2=y2y1；
　　(2) 结合律z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3，z1(z2z3)=(z1z2)z3；
　　(3) 分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。
　　并且还满足：
　　(4)
　　(5)
　　(6)
　　(7)
　　在实际计算中，只要记住i2=-1及上述各式，四则运算问题便可以解决了。
　　例1.1 设z1=3-4i，z2=-1+i，求
　　解，而。
　　例1.2 i3=i2i=-i，i5=i4i=i。
　　例1.3 设z1，z2是两个任意复数，证明：
　　证明 因为
　　所以由运算规律(6)，有
　　本例也可以用乘法和共轭复数的定义证明。
　　1.1.3 复平面与复数的表示法
　　复数z=x+yi是由实部x和虚部y两个实数作为有序的数对确定的，给定复数z，其实部x和虚部y也完全确定。这样便复平面与复数的表示法
　　复球面与无穷远点
　　建立了复数z和一对实数(x，y)之间的一一对应。把这一对有序实数视为平面直角坐标系下点P的坐标时，复数z=x+yi和xOy平面上点P(x，y)也构成了一一对应。给定一个复数z=x+yi，在坐标平面xOy上，存在唯一的点P(x，y)与z=x+yi对应。反之，对xOy平面上的点P(x，y)，存在唯一的复数z=x+yi与它对应。根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知，这种对应构成了同构映射。因此，可以用xOy平面上的点表示复数z。这时把xOy平面称为复平面。有时简称为z平面。
　　显然，实数与x轴上的点一一对应，而x轴以外的点都对应一个虚数，纯虚数iy(y≠0)与y轴上的点(除原点)对应。因此，称x轴为实轴，y轴为虚轴。
　　今后把复平面上的点和复数z不加区别，即“点z”和“复数z”是同一个意思。有时用大写字母C表示全体复数或者复平面。复数z=x+yi还可以用以原点为起点而以点P为终点的向量表示(图1.1)。
　　这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则。
　　用OP表示复数z时，这个向量在x轴和y轴上的投影分别为x和y。把向量OP的长度r称为复数z的模或称为z的绝对值，并记做z，显然
　　(1-1)
　　如果点P不是原点(即z≠0)，那么把x轴的正向与向量OP的夹角θ称为复数z的辐角，记做Argz。对每个z≠0，都有无穷多个辐角，因为用θ0表示复数z的一个辐角时，
　　就是z的辐角的一般表达式。
　　满足-π<θ≤π的复数z的辐角称为主辐角(或称辐角的主值)，记做argz，则
　　Argz=argz+2kπ(k=0，&plusmn;1，&plusmn;2， )(1-2)
　　也可以把主辐角定义为0≤θ<2π的辐角，这时式(1-2)仍成立。在第5章保角映射中，这样规定主辐角比较方便。
　　当z=0时，Argz没有意义，即零向量没有确定的方向角；但当z=0时，z=0；当x≠0时，有
　　(1-3)
　　利用直角坐标与极坐标之间的关系
　　x=rcosθ，y=rsinθ
　　复数z=x+yi可表示为
　　z=r(cosθ+isinθ)(1-4)
　　表达式(1-4)称为复数z的三角表示式。再利用Euler(欧拉)公式
　　eiθ=cosθ+isinθ
　　复数z=x+yi还可表示为
　　z=reiθ(1-5)
　　式(1-5)称为复数的指数表示式。式(1-4)和式(1-5)中的r=|z|，θ=Argz。
　　易见，当z≠0时，Arg=-Argz。当z=reiθ时，=re-iθ。从几何上看，复数z2-z1所表示的向量，与以z1为起点、z2为终点的向量相等(方向相同，模相等)。由此可知不等式
　　在复数范围内仍然成立。复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算。
　　1.1.4 乘幂与方根
　　设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)是两个复数的三角表示式，根据乘法定义和运算法则及两角和公式，
　　于是
　　应该注意的是Arg(z1z2)=Argz1+Argz2中的加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的元素相加构成的集合。
　　利用数学归纳法进而可证明：当zk=rk(cosθk+isinθk)，k=1，2， ，n时，
　　(1-6)
　　特别地，当z1=z2= =zn=r(cosθ+isinθ)时，
　　zn=z z z=rn(cosnθ+isinnθ)(1-7)
　　于是
　　如果把式(1-6)和式(1-7)写成指数形式，即当zk=rkeiθk(k=1，2， ，n)，z=reiθ时，
　　（1-6）′
　　 (1-7)′
　　特别地，当|z|=r=1时，式(1-7)变为
　　(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(1-8)
　　这就是De Moivre(棣莫弗)公式。
　　当用定义负整数幂时，公式(1-8)仍成立。
　　设z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，当z2≠0(即r2≠0)时，
　　 (1-9)
　　把式(1-9)写成指数形式，即当z1=r1eiθ1，z2=r2eiθ2时，(1-9)′
　　于是
　　指数表示法在处理复数的乘、除运算时很方便，其运算结果符合实数情况下所用过的运算规律。
　　对给定的复数z，方程wn=z的解w称为z的n次方根，记做或。下面利用公式(1-7)求。设z=r(cosθ+isinθ)，w=ρ(cosφ+isinφ)，则根据式(1-7)，有
　　ρn(cosnφ+isinnφ)=r(cosθ+isinθ)
　　于是，当r≠0时，
　　ρn=r，cosnφ=cosθ，sinnφ=sinθ
　　满足以上三式的充分必要条件是
　　由此得
　　其中表示算术根。于是
　　(1-10)
　　当取k=0，1，2， ，n-1，对一个取定的θ，可得n个相异根
　　由三角函数的周期性
　　可见，除w0，w1， ，wn-1外，均是重复出现的，故这n个复数就是所要求的n个根。
　　当z=0时，w=0是z1n=0的n重根。
　　在上面的推导过程中，可取θ为一个定值，通常取主辐角。若用指数表示式，则当z=reiθ时，
　　例1.4求方程w4+16=0的四个根。
　　解因为，所以方程可化为
　　于是
　　即
　　w0，w1，w2，w3恰好是以原点为圆心、半径为2的圆w=2的内接正方形的四个顶点(图1.2)，且
　　一般情况下，的n个根就是以原点为中心、半径为r1n的圆的内接正多边形的n个顶点所表示的复数。
　　1.1.5 复球面与无穷远点
　　复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数。
　　设Σ是与复平面C切于原点O的球面。过原点O做垂直于平面C的直线，与Σ的另一交点为N。原点O称为Σ的南极(S极)，点N称为Σ的北极(图1.3)。
　　已知平面C上的任意点P都能对应一个复数z，联结PN，则和球面Σ交于唯一异于N的点Q，就用Q表示P。于是平面C上任意点P都有球面Σ上唯一表示它的点Q；反之，对球面Σ上任意异于N的点Q，过N，Q的直线与平面C交于唯一点

目录
第二版前言
第一版前言
第1章 复查函数与解析函数 1
1.1 复数 1
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复数的四则运算 1
1.1.3 复平面与复数的表示法 2
1.1.4 乘罪与方根 4
1.1.5 复球面与无穷远点 6
1.2 平面点集 7
1.2.1 区域 7
1.2.2 Jordan*线、连通性 9
1.3 连续函数 11
1.4 解析函数 13
1.4.1 复变函数的导数 13
1.4.2 解析函数 15
1.5 函数可导的充要条件 16
1.6 初等解析函数 19
1.6.1 指数函数 19
1.6.2 对数函数 20
1.6.3 罪函数 23
1.6.4 三角函数和双*函数 24
习题1 26
第2章 复查函数的积分 29
2.1 复变函数的积分 29
2.1.1 积分的概念 29
2.1.2 积分存在的条件及积分的性质 30
2.2 Cauchy积分定理 33
2.3 Cauchy积分公式 36
2.4 解析函数的原函数 41
习题2 44
第3章 复变函数的级数 47
3.1 复数项级数 47
3.1.1 复数列的极限 47
3.1.2 复数项级数 47
3.2 幕级数 49
3.2.1 幂级数的概念 49
3.2.2 幂级数的性质 52
3.3 Taylor级数 53
3.4 Laurent级数 61
3.5 调和函数 67
3.5.1 调和函数的概念与实例 67
3.5.2 解析函数与调和函数的关系 68
习题3 70
第4章 留数及其应用 73
4.1 孤立奇点 73
4.1.1 可去奇点 73
4.1.2 极点 74
4.1.3 本性奇点 76
4.2 留数的一般理论 76
4.2.1 留数定义及留数基本定理 76
4.2.2 留数的计算 78
4.3 函数在无穷远点的留数 82
4.3.1 函数在无穷远点的性质 82
4.3.2 函数在无穷远点的留数 83
4.4 留数的应用 86
4.4.1 三角有理式的积分 86
4.4.2 有理函数的无穷积分 88
4.4.3 有理函数与三角函数乘积的积分 90
4.4.4 零点的分布 95
习题4 97
第5章 保角映射 99
5.1 映射与保角映射的概念 99
5.1.1 映射的概念 99
5.1.2 导数的几何意义 100
5.1.3 保角映射的概念 102
5.1.4 关于保角映射的一般理论 103
5.2 分式线性映射 104
5.2.1 分式线性映射的基本性质 106
5.2.2 唯一确定分式线性映射的条件 109
5.2.3 分式线性映射的典型例子 110
5.3 几个初等函数所构成的映射 113
5.3.1 罪函数构成的映射 113
5.3.2 指数函数与对数函数构成的映射 116
5.4 保角映射举例 117
习题5 123
第6章 积分变换的预备知识 127
6.1 几个典型函数 127
6.1.1 单位阶跃函数 127
6.1.2 矩形脉冲函数 127
6.1.3 8 函数 128
6.2 卷积的概念与性质 129
6.3 积分变换简介 132
习题6 135
第7章 Fourier变换 136
7.1 Fourier变换概念与性质 136
7.1.1 Fourier变换的定义 136
7.1.2 Fourier变换的性质 139
7.1.3 δ函数的Fourier变换 144
7.2 离散Fourier变换 145
7.2.1 离散Fourier变换及其性质 146
7.2.2 快速Fourier变换 148
7.3 Fourier变换的应用 150
7.4 Fourier余弦和正弦变换 154
7.5 多维Fourier变换 157
习题7 160
第8章 Laplace变换 163
8.1 Laplace变换的概念 163
8.1.1 Laplace变换的定义 163
8.1.2 周期函数和δ函数的Laplace变换 166
8.2 Laplace变换的性质 167
8.3 Laplace逆变换 176
8.4 Laplace变换的应用 180
习题8 186
第9章 Z变换 191
9.1 Z 变换的概念与性质 191
9.1.1 Z变换的定义 191
9.1.2 Z变换的性质 193
9.2 Z 逆变换 196
9.3 Z变换的应用 198
习题9 201
第四章 小波变换基础 203
10.1 小波变换的背景 203
10.2 窗口Fourier变换简介 205
10.3 连续小波变换 208
10.4 二进小波变换和离散小波变换 210
10.5 多分辨分析 212
10.6 Mallat分解与重构算法 213
10.7 小波变换应用实例 214
第11章 复变画鼓与积分变换的MATLAB求解 219
11.1 MATLAB基础 219
11.2 复变函数的MATLAB求解 224
11.3 Fourier变换的MATLAB求解 233
11.4 Laplace变换的MATLAB求解 240
11.5 Z变换的MATLAB求解 245
习题参考答案 248
参考文献 258