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精彩书摘

1 矢量分析
　　矢量是现代数学、物理学中的一个重要概念。爱尔兰数学家哈密顿（W.R.Hamilton，1805～1865）**个使用矢量（vector）这个词来表示一个有向线段。1935年，我国***公布的《数学名词》中vector被译为“矢量、向量”。在数学中多称为向量，在物理中多称为矢量。
　　本章重点阐述矢量分析的基本理论和分析方法。矢量分析就是矢量函数的微积分，它是研究电磁场的重要工具。*先讨论矢量场基本概念、运算，重点阐述电磁场的梯度、散度、旋度概念和运算，然后介绍矢量场的亥姆霍兹定理和唯一性定理。
　　1.1 矢量的基本运算
　　1．单位矢量
　　单位矢量表示模为1的矢量，任意矢量可以写为或。例如，直角坐标系中单位矢量为，圆柱坐标系中单位矢量为，球坐标系中单位矢量为。
　　2．空间矢量
　　在电磁场空间，通常将电荷源或者电流的位置点称为源点，通常用带撇的量表示，例如，将待求解的空间某点称为场点，采用不带撇的量表示，如。空间任一点可用一个矢量表示，由原点指向该点。例如，图1.1中场点可以用矢量表示为
　　（1.1）
　　源点可以表示为
　　（1.2）
　　式中，对应场点和源点的位置矢量。
　　由源点指向场点的距离矢量为的模为
　　（1.3）
　　方向为
　　（1.4）
　　图1.1 位置矢量和距离矢量关系示意图
　　3．矢量加减法
　　矢量加减法可以用平行四边形法则，各分量分别相加、减。例如，在直角坐标系中两个矢量和分别为
　　（1.5）
　　（1.6）
　　式中，为矢量在直角坐标系的分量；为矢量在直角坐标系的分量。两个矢量相加后为
　　（1.7）
　　4．矢量的标量积（点乘）
　　两矢量的标量积为
　　（1.8）
　　式中，为和的夹角，两个矢量相乘后为标量。
　　5．矢量的矢量积（叉乘）
　　两矢量的矢量积仍是一个矢量，可以用行列式表示为
　　（1.9）
　　矢量相乘后的数值为
　　（1.10）
　　6．矢量的混合积
　　矢量的三重乘积可以表示为，常用的变换式为
　　（1.11）
　　7．矢量的一阶微分运算
　　在矢量分析中，经常用到哈密顿算子，记作“”（读作“Nabla”）。哈密顿算子表示对空间坐标的一阶微分运算，在直角坐标系中哈密顿算子的展开式为
　　（1.12）
　　对于距离矢量有和成立。其中表示对源点坐标进行微分，为。证明如下。距离矢量的模为
　　对空间矢量的场点坐标进行一阶微分运算，写为
　　（1.13）
　　（1.14）
　　对空间矢量和的源点坐标进行一阶微分运算，写为
　　（1.15）
　　（1.16）
　　8．矢量的二阶微分运算
　　拉普拉斯算子（Laplacian）表示对空间坐标的二阶微分运算，可以写为。在直角坐标系中拉普拉斯算子的展开式为
　　（1.17）
　　拉普拉斯算子作用在标量函数和矢量函数的表达式分别为
　　（1.18）
　　（1.19）
　　在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子作用在标量函数和矢量函数的表达式分别为
　　（1.20）
　　（1.21）
　　在球坐标系中，拉普拉斯算子作用在标量函数和矢量函数的表达式分别为
　　（1.22）
　　（1.23）
　　1.2 电磁场中标量场和矢量场
　　假设在空间某个确定区域内的任意点处都对应着一个确定的物理量，则称这个物理量为一个场。从数学的角度看，就是在该区域内定义了一个函数，这个函数可以为标量，也可以为矢量。物理量为标量时称为标量场，物理量为矢量时称为矢量场。
　　1．标量场
　　电磁场中的标量主要有电位、标量磁位等场量。空间中每一点都可以定义一个电位，这些空间点的标量共同构成一个标量场，标量场可以用等值面表示。磁场中在电流密度为零的区域，即没有电流分布的区域，空间中每一点都可以定义一个标量磁位，这些空间点的标量共同构成一个标量场。
　　2．标量场的等值面
　　标量场的分布可以采用等值面来直观形象地描绘。等值面上的任一点的函数值相等，即
　　（1.24）
　　式中，为常数。随着的取值不同，可获得一系列不同的等值面，空间中可以绘制多组等值面。一般情况下，为单值函数，所以这些等值面互不相交。
　　在与z轴平行的平面标量场中，函数具有相同函数值的点所组成的*线称为等值线，。
　　3．矢量场
　　电场中每一点都可以定义一个电场强度，这些矢量的总和构成一个矢量场，矢量场可以用场线表示，如电场线，电场单位为伏/米，符号为V/m。
　　电场中的标量电位与矢量电场强度之间的关系可以用积分形式表示：
　　（1.25）
　　式中，为矢量线的线元；P和Q分别为空间中两个观测点。电位和电场在空间的点是一一对应的，单位为伏，符号为V。
　　磁场中每一点都可以定义一个磁场强度，这些矢量的总和构成一个矢量场，可以用磁场线表示，磁场单位为安/米，符号为A/m。
　　磁场在传导电流为零的区域内，且磁场的积分路径不穿过磁屏蔽面，此时，标量磁位与矢量磁场强度之间的关系可以用积分形式表示：
　　（1.26）
　　式中，P和Q为空间中两个观测点。标量磁位和磁场在空间的点是一一对应的，单位为安，符号为。
　　4．矢量场的矢量线
　　为了形象地描绘矢量场的分布，引入矢量场的矢量线概念。在矢量场中，矢量线上面的每一点处切线方向都与矢量场在该点的方向相同。例如静电场中的电场线。矢量场中矢量线可以分布在整个场域，但它们互不相交。
　　根据矢量线的定义，矢量线的方程可以写为
　　（1.27）
　　在直角坐标系中，方程可展开为
　　（1.28）
　　上式为矢量线的微分方程，其中为矢量在直角坐标系的分量；为的积分元分量。
　　5．矢量场的矢量管
　　矢量管是矢量场中特殊的一种矢量*面，如果在矢量场内取任一条不是矢量线的闭合*线，并经过其每一点引一条矢量线，那么这些线的轨迹就是一管状矢量*面，称之为矢量管（图1.2）。流体通过矢量管的任意截面的通量都是相同的。
　　1.3 标量场的方向导数和梯度
　　研究一个标量场，不仅要掌握物理量在空间的分布情况，还需要知道它的空间变化规律以及与其他物理量之间的相互关系，采用方向导数和梯度来进行表征。
　　1.3.1 方向导数
　　方向导数定义为函数从点沿路径到点的变化率，记做。对于电场，空间各点的电位构成一个标量场，电位沿不同方向的变化率不同。在直角坐标系中可写为
　　（1.29）
　　式中，分别对应在直角坐标系的方向余弦。路径的方向可以采用单位矢量表示，为。
　　方向导数解决了标量场中在给定点处沿某一方向的变化率问题。下面来探讨函数在哪个方向上变化率最大，以及如何计算最大变化率。
　　设矢量，那么式（1.29）可以写成矢量与的标量积，即
　　（1.30）
　　上式表明：标量函数沿方向的方向导数为矢量在上的投影。因在给定点处为一个固定的矢量，所以只有当的方向与方向一致时，方向导数才取得最大值，此时增加得最快；

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目录
前言
1 矢量分析 1
1.1 矢量的基本运算 1
1.2 电磁场中标量场和矢量场 4
1.3 标量场的方向导数和梯度 6
1.3.1 方向导数 6
1.3.2 梯度 7
1.3.3 梯度性质 7
1.4 矢量场的散度和散度定理 8
1.4.1 矢量的通量 8
1.4.2 矢量场的散度 8
1.4.3 散度定理 10
1.5 矢量场的旋度和斯托克斯定理 11
1.5.1 矢量的环量 11
1.5.2 矢量场的旋度 12
1.5.3 斯托克斯定理 14
1.6 亥姆霍兹定理 15
1.6.1 亥姆霍兹定理基本概念 15
1.6.2 亥姆霍兹定理证明 16
1.6.3 矢量场的亥姆霍兹定理 17
1.7 唯一性定理 18
2 静电场及其仿真 20
2.1 库仑定律 21
2.2 电场的基本概念 21
2.2.1 电荷与电荷分布 21
2.2.2 电场强度及电场线方程 23
2.2.3 电介质和极化强度 25
2.2.4 电通密度（电位移矢量） 28
2.2.5 电位及等位面方程 29
2.2.6 电容 29
2.2.7 静电能量 31
2.2.8 静电力 33
2.3 静电场的基本定律 34
2.3.1 静电场的高斯定律 34
2.3.2 静电场的环路定律 36
2.4 静电场的基本方程 37
2.4.1 矢量基本方程 37
2.4.2 标量基本方程 40
2.5 镜像法和电轴法 42
2.6 场量的求解方法 47
2.6.1 电场强度定义式法 47
2.6.2 电位函数叠加法 50
2.6.3 高斯定律法 51
2.6.4 电位的积分方程法 54
2.7 电参数的求解方法 58
2.8 静电场的仿真案例 63
2.8.1 基于MATLAB的点电荷电位和电场强度分布仿真 63
2.8.2 基于MATLAB的电偶极子电位和电场强度分布仿真 64
2.8.3 基于Ansoft Maxwell的静电场中同轴电缆3D仿真 65
2.9 知识提要 68
习题 70
3 恒定电场及其仿真 73
3.1 恒定电场的基本概念 74
3.2 恒定电场基本定律 79
3.3 恒定电场基本方程 80
3.3.1 矢量场方程 80
3.3.2 标量场方程 82
3.4 恒定电场的分界面衔接条件 83
3.5 恒定电场与静电场的比拟 86
3.6 场量和电参数的求解方法 87
3.6.1 静电比拟法 87
3.6.2 分界面衔接条件法 90
3.6.3 电位的积分方程法 90
3.7 恒定电场的数值仿真案例 94
3.7.1 基于Ansoft Maxwell的导体中电流仿真 94
3.7.2 基于Ansoft Maxwell接地电极的跨步电压计算 96
3.8 知识提要 98
习题 99
4 恒定磁场及其仿真 102
4.1 安培定律 103
4.2 恒定磁场的基本概念 103
4.2.1 磁感应强度及磁感线方程 104
4.2.2 磁化强度 105
4.2.3 磁场强度 106
4.2.4 磁矢量位 107
4.2.5 磁标量位 107
4.2.6 电感 108
4.2.7 互感 108
4.2.8 磁场能量 110
4.2.9 磁场力 111
4.3 恒定磁场的基本定律 112
4.3.1 恒定磁场的高斯定律 112
4.3.2 恒定磁场的环路定律 113
4.4 恒定磁场的基本方程及衔接条件 117
4.4.1 矢量基本方程 117
4.4.2 矢量的分界面衔接条件 118
4.4.3 标量基本方程及分界面衔接条件 120
4.5 场量的求解方法 121
4.5.1 毕奥-萨伐尔定律法 121
4.5.2 环路定律法 124
4.5.3 磁矢量位法 126
4.5.4 磁矢量位的微分方程法 129
4.6 磁参数的求解方法 131
4.6.1 自感计算 131
4.6.2 互感计算 132
4.6.3 磁场能量计算 134
4.7 恒定磁场的数值仿真案例 135
4.7.1 基于MATLAB的环形载流回路空间磁场分布仿真 135
4.7.2 基于MATLAB的亥姆霍兹线圈的磁场分布 138
4.8 知识提要 141
习题 144
5 时变电磁场及其仿真 148
5.1 电磁场量的复数形式表示法 148
5.2 时变电磁场的基本概念和基本定律 150
5.2.1 基本概念 150
5.2.2 电磁感应定律 151
5.2.3 全电流定律 152
5.3 时变电磁场的基本方程和分界面衔接条件 154
5.3.1 麦克斯韦方程组 154
5.3.2 准静态电磁场中麦克斯韦方程组 156
5.3.3 媒质分界面衔接条件 157
5.4 坡印亭定理 161
5.5 达朗贝尔方程及其解 165
5.6 电偶极子时变场 168
5.7 磁偶极子时变场 172
5.8 典型例题 176
5.9 时变电磁场数值仿真案例 180
5.9.1 基于MATLAB的电偶极子天线电磁辐射 180
5.9.2 磁偶极子电磁场仿真 183
5.10 知识提要 186
习题 189
附录5.1 偶极子的时谐电磁场推导 191
6 平面电磁波及其仿真 200
6.1 赫兹实验 200
6.2 基本概念 201
6.3 电磁波动方程 203
6.3.1 电磁波动方程的时间域和频率域形式 203
6.3.2 一维平面电磁波的波动方程 205
6.4 理想介质中均**面电磁波 207
6.4.1 一维波动方程的时间域通解及其物理意义 207
6.4.2 理想介质中正弦均**面波的复数通解 209
6.4.3 典型例题 212
6.5 导电媒质中均**面电磁波 214
6.5.1 导电媒质中正弦均**面电磁波的传播特性 214
6.5.2 良导体媒质中电磁波的传播特性 217
6.5.3 低损耗媒质中电磁波的传播特性 218
6.5.4 典型例题 220
6.6 平面电磁波的极化 222
6.6.1 直线极化 223
6.6.2 圆极化 223
6.6.3 椭圆极化 224
6.7 平面电磁波在理想介质分界面上的反射与折射 225
6.7.1 正入射时平面电磁波的反射与折射 225
6.7.2 三层理想介质分界面上的反射与折射 229
6.7.3 斜入射时平面电磁波的反射与折射 231
6.7.4 理想介质分界面上的全反射与全折射 238
6.7.5 典型例题 240
6.8 平面电磁波在导电媒质分界面上的反射与折射 241
6.8.1 平面电磁波正入射到理想导体表面上的反射与折射 242
6.8.2 平面电磁波斜入射到理想导体表面上的反射与折射 244
6.8.3 平面电磁波斜入射到良导体表面上的反射与折射 246
6.8.4 典型例题 247
6.9 水平电偶极子在层状媒质中的电磁场计算 254
6.10 垂直磁偶极子在层状媒质上方的电磁场计算 257
6.11 水平电偶极子的时变电磁场数值仿真案例 261
6.12 知识提要 268
习题 271
7 电磁场仿真软件 275
7.1 MATLAB基本介绍 275
7.1.1 MATLAB工作环境 275
7.1.2 MATLAB常用命令 276
7.2 应用MATLAB进行电磁场仿真 277
7.2.1 真空中N个点电荷之间库仑力的计算 277
7.2.2 有限长直导线的电位分布 279
7.2.3 三相输电线路的工频电场分布 280
7.2.4 有限长载流细直导线的磁场分布 281
7.2.5 无限长载流圆柱内外的磁场分布 282
7.2.6 载流方形回线的磁场分布 284
7.2.7 载流圆线圈的磁场分布和互感计算 285
7.2.8 平行极化波反射系数和折射系数分布 289
7.3 Ansoft Maxwell基本介绍 290
7.4 应用Ansoft Maxwell软件进行电磁场仿真 293
7.4.1 平行板电容器电场分布 293
7.4.2 恒定磁场力矩计算 295
7.4.3 亥姆霍兹线圈的磁场分布 297
7.4.4 多边形线圈互感计算 300
7.4.5 涡流场分析 302
7.4.6 电偶极子的电磁辐射仿真 305
附录7.1 矢量分析 307
附录7.2 电磁单位制 309
参考文献 312

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