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精彩书摘

数值计算引论
　　0.1研究数值分析的必要性
　　随着科学技术的发展，科学与工程计算已被推向科学活动的前沿.科学与工程计算的范围扩大到了所有科学领域，并与实验、理论三足鼎立，相辅相成，成为人类科学活动的三大方法之一.因此，熟练地运用计算机进行科学计算，已成为科技工作者的一项基本技能，这就要求人们去研究和掌握适用于计算机上使用的数值计算方法.而数值分析就是研究用计算机解决数学问题的数值计算方法及有关理论.
　　一般地，用计算机进行科学与工程计算时要经历如下过程:
　　可见，数值分析是科学与工程计算过程中必不可少的环节.它以纯数学为基础，但不只研究数学本身的理论，而着重研究解决问题的数值方法及效果，如怎样使计算速度最快、存储量最少等问题，以及数值方法的收敛性、稳定性、误差分析.虽然有些方法在理论上还不够完善与严密，但通过对比分析、实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法，也可采用.因此，数值分析这门课程既带有纯数学高度抽象性和严密科学性的特点，又具有应用的广泛性和实际试验的高度技术性特点，是一门与计算机密切相连的实用性很强的计算数学课程.
　　例如，用Cramer(克拉默)法则解一个n阶线性代数方程组需要计算n+1个n阶行列式.不计加减运算，求解总共需要n!(n + 1)+ n次乘除法.当n很大时，这个计算量是相当惊人的.比如一个不算太大的20阶方程组，大约要做9.7×1020次乘除法，显然，这样的方法是毫无实用意义的.然而，如果采用数值分析中介绍的任何一种解线性方程组的数值方法，比如Gauss(高斯)消元法，乘除法次数不超过3000次，即使在微型计算机上，也只需几秒钟时间就能很容易地完成.这个例子说明了研究实用的数值方法是非常有必要的.而数值分析研究的正是在计算效率上最佳的或近似最佳的方法，而不是像Cramer法则这样的方法.
　　0.2误差来源与误差概念
　　对数学问题进行数值求解，求得的结果一般都包含有误差.即数值计算绝大多数情况是近似计算，因此，误差分析和估计是数值计算过程中的重要内容，由它们可以确切地知道误差的性态和误差的界.
　　0.2.1误差来源
　　数值结果中的误差通常来自固有误差与计算误差，如下面所示:
　　固有误差的一个来源是由求解问题的数学模型本身所固有的模型误差，它包括对实际物理过程进行近似的数学描述时所引进的误差.另一个来源是物理数据的不精确性，这些数据往往是由实验观测得到的，从而带有观测误差.这些都不是数值分析所研究的内容.
　　计算误差主要有两个来源.一个是由于在求解某一个已公式化的数学问题时，不是对其本身求解而是对它的某一个近似问题求解而造成的，这类误差称为截断误差或方法误差.这类误差往往是由有限过程逼近一个无限过程时产生的.比如，函数ex可展开为幂级数形式
　　(0.2.1)
　　如果用式(0.2.1)右边的前
　　(0.2.2)
　　来近似 ex的无穷多项的和，所产生的误差就是这一问题的截断误差，为
　　(0.2.3)
　　再比如序列
　　(0.2.4)
　　因为，所以，可以用无限迭代过程式(0.2.4)的有限次结果来得到5的近似值，而产生的误差也是截断误差.
　　通常这类误差的精确值是不能求得的，所以，一般只研究这类误差的某一估计值或它的某一个界.
　　产生计算误差的另一重要来源，是由于算术运算几乎不可能在计算机上完全精确地进行.*先，由于计算机所能表示的数字的位数有限(即字长有限)，在进行计算时，对超过计算机所能表示的位数的数字就要进行舍入;其次，尽管有些数据可以精确地由计算机表达，但是，当进行乘除运算时，常常也要对其运算的结果进行舍入，如计算7/1 .上述这种对某一个数进行舍入而产生的误差称为舍入误差.
　　0.2.2绝对误差与相对误差
　　定义0.1设代表精确值 x的一个近似值，称
　　(0.2.5)
　　为近似值的绝对误差，或简称误差.
　　显然，绝对误差依赖于量纲，通常无法精确地算出绝对误差的真值，只能根据具体测量或计算的情况估计它的绝对值的范围，也就是去估计 |E(.x)|的上界.若
　　(0.2.6)
　　称为的绝对误差界，或简称误差界.
　　在工程技术上，常将不等式(0.2.6)表示成
　　x = x.+ε.
　　绝对误差的大小，在许多情况下还不能完全刻画一个近似值的精确程度.如有两个数
　　x = 10 ±0.1，y = 1015 ±106 ，
　　这里y的绝对误差是x的107倍，但是不能就此断定近似值x=10一定比近似值y=1015精确程度高.若考虑到精确值本身的大小，在1015内差106显然比在10内差0.1更精确些.这说明一个近似值的精确程度，除了与绝对误差有关，还与精确值本身有关.为此引入相对误差概念.
　　定义0.2 设是精确值 x的一个近似值，称
　　(0.2.7)
　　为近似值的相对误差.
　　相对误差是无量纲的，通常用百分数表示，与绝对误差类似，我们只能估计相对误差绝对值的某一个上界.若
　　(0.2.8)
　　则称为近似值的相对误差界.
　　由于
　　当
　　有
　　从而
　　显然，当很小时，与的差是的平方量级，可以忽略不计.因此，在实际计算中，常取
　　(0.2.9)
　　0.2.3有效数字
　　我们表示一个近似数时，为了能反映它的精确程度，常常用到 “有效数字 ”的概念.
　　定义0.3 若x的某一近似值的绝对误差界是某一位的半个单位，则从这一位起直到左边**个非零数字为止的所有数字都称为的有效数字.
　　具体地说，对于数x，经四舍五入之后，得到它的近似值
　　(0.2.10)
　　其中，x1，x2，，xn都是0，1，2，，9这十个数字之一，是正整数，m是整数.如果x的绝对误差满足
　　(0.2.11)

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目录
前言
数值计算引论 1
0.1研究数值分析的必要性 1
0.2误差来源与误差概念 1
0.2.1误差来源 2
0.2.2绝对误差与相对误差 3
0.2.3有效数字 4
0.3数值计算中应注意的若干问题 5
0.3.1防止有效数字的损失 5
0.3.2减少计算次数 7
0.3.3避免使用不稳定的数值方法 8
第1章线性代数方程组数值解法 9
1.1向量范数与矩阵范数 9
1.1.1向量范数 10
1.1.2矩阵范数 10
1.1.3有关定理 15
1.2Gauss消去法 17
1.2.1Gauss消去法 17
1.2.2Gauss-Jordan消去法 20
1.2.3列选主元素消去法 21
1.2.4全主元素消去法 23
1.3三角分解法 23
1.3.1Doolittle分解方法 28
1.3.2Crout分解方法 31
1.3.3Cholesky分解方法 33
1.3.4解三对角方程组的追赶法 38
1.4矩阵的条件数及误差分析 40
1.4.1初始数据误差的影响及矩阵的条件数 40
1.4.2病态问题简介 43
1.5线性方程组的迭代解法 44
1.5.1收敛性 46
1.5.2Jacobi迭代 47
1.5.3Gauss-Seidel迭代 48
1.5.4超松弛迭代法 50
1.5.5迭代收敛其他判别方法 53
1.6梯度法 57
1.6.1等价性定理 57
1.6.2*速下降法 60
1.6.3共轭梯度法 62
习题1 68
第2章非线性方程和方程组的数值解法 72
2.1基本问题 72
2.1.1引言 72
2.1.2二分法 73
2.2不动点迭代法 75
2.2.1不动点与不动点迭代 75
2.2.2不动点迭代收敛阶 75
2.2.3计算效率 81
2.3Newton迭代法 81
2.3.1基于反函数Taylor展开的迭代法 81
2.3.2Newton迭代法 83
2.3.3Newton迭代法的修正 86
2.3.4重根上的Newton迭代法 87
2.3.5割线法 90
2.4非线性方程组的数值解法 93
2.4.1基本问题 93
2.4.2非线性方程组的不动点迭代法 94
2.4.3非线性方程组的Newton迭代法 96
2.4.4拟Newton法 97
习题2 100
第3章插值法与数值逼近 103
3.1多项式插值 103
3.1.1基本概念 103
3.1.2Lagrange插值公式 104
3.1.3Newton插值公式 110
3.1.4等距节点的Newton插值公式 114
3.1.5插值公式的收敛性与数值计算稳定性 117
3.1.6Hermite插值与分段插值 120
3.2样条插值 129
3.2.1引言 129
3.2.2基本概念 129
3.2.3三弯矩插值法 132
3.2.4三转角插值法 136
3.3*佳平方逼近 141
3.3.1函数的*佳平方逼近 141
3.3.2基于正交函数族的*佳平方逼近 146
3.3.3*线拟合的*小二乘逼近 157
3.3.4多项式*小二乘的光滑解 161
3.4周期函数的*佳平方逼近 164
3.4.1周期函数的*佳平方逼近 164
3.4.2离散情形 165
3.4.3周期复值函数的情形 167
3.5*佳一致逼近 168
3.5.1*佳一致逼近多项式的存在性 168
3.5.2Chebyshev定理 170
3.5.3零偏差*小问题 175
3.5.4*佳一次逼近多项式 175
3.5.5近似*佳一次逼近多项式 176
习题3 180
第4章数值积分 184
4.1数值积分的一般问题 184
4.1.1问题的提出 184
4.1.2数值积分的基本思想 185
4.1.3代入精度与插值型求积公式 185
4.2等距节点的Newton-Cotes公式 187
4.2.1Newton-Cotes公式 187
4.2.2Newton-Cotes公式数值稳定性 191
4.2.3Newton-Cotes公式的余项 191
4.2.4复化的Newton-Cotes公式 195
4.3Romberg积分法 199
4.3.1Richardson外推法 199
4.3.2Bernoulli多项式与Bernoulli数 201
4.3.3Euler-Maclaurin求和公式 204
4.3.4Romberg积分 208
4.4Gauss求积公式 211
4.4.1Gauss求积公式及其性质 211
4.4.2Gauss公式的数值稳定性 214
4.4.3Gauss-Legendre求积公式 215
4.5带权函数的Gauss型求积公式 219
4.5.1代数精度与数值稳定性 219
4.5.2无穷区间上的求积公式 223
4.5.3奇异积分 226
4.6复化的Gauss型求积公式 232
4.7自适应积分方法 235
4.8多重积分 236
习题4 237
第5章矩阵特征值计算 241
5.1特征值基本性质和估计 241
5.1.1特征值问题及其性质 241
5.1.2特征值估计 245
5.2幂法和反幂法 248
5.2.1幂法 248
5.2.2加速与收缩方法 253
5.2.3反幂法 256
5.3Jacobi方法 259
5.3.1旋转变换 260
5.3.2Jacobi方法 262
5.4Householder方法 265
5.4.1Householder变换 265
5.4.2对称三对角矩阵的特征值计算 269
5.4.3特征向量的计算 273
5.5LR和QR算法 273
习题5 277
第6章常微分方程数值解法 280
6.1初值问题数值方法的一般概念 280
6.2Euler法 282
6.2.1显式Euler法与隐式Euler法 282
6.2.2Euler法的局部截断误差与精度 285
6.2.3Euler法的稳定性 286
6.3Runge-Kutta法 288
6.3.1RK法的一般形式 289
6.3.2二级RK法 289
6.3.3四级RK法 292
6.3.4局部截断误差的实用估计 293
6.3.5单步法的收敛性、相容性、稳定性 295
6.4线性多步法 298
6.4.1线性多步法的一般形式 298
6.4.2线性多步法的逼近准则 299
6.4.3线性多步法阶与系数的关系 299
6.4.4线性多步法的构造方法 301
6.5线性多步法的收敛性 307
6.6线性多步法的数值稳定性 313
6.6.1差分方程解的性态 313
6.6.2积累误差的性态 314
6.6.3稳定性定义 315
6.7预测–校正方法 318
6.7.1基本思想 318
6.7.2基本方法 319
6.7.3预测–校正法和RK法的比较 323
6.8高阶方程和方程组 324
6.9Stiff方程简介 326
6.9.1Stiff方程 326
6.9.2A(α)稳定，刚性稳定 328
6.10边值问题数值方法 330
6.10.1打靶法 331
6.10.2有限差分法 333
习题6 336
参考文献 339

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