第7章 常微分方程
　　研究变量间的函数关系， 是在各学科领域经常遇到的问题. 为了探求这些函数关系， 需要建立方程， 而其中有些方程常常归纳为联系着自变量、未知函数及未知函数导数(或微分)的方程， 即微分方程. 其在物理、化学、生物学、工程技术和一些社会科学中都有广泛应用.
　　微分方程是一门独立的数学学科， 有完整的理论体系， 本章只介绍常微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程解法.
　　7.1 微分方程的基本概念
　　为了更好地理解微分方程的基本概念， 先看下面几个例子.
　　例7.1.1 一曲线过点A(0， 1)， 且在该曲线上任一点M(x， y)处的导数都等于3x2， 求该曲线方程.
　　解 设所求曲线为y = f (x)， 由题意可知
　　(7.1.1)
　　且曲线满足下列条件:
　　对式(7.1.1)两边同时积分， 得
　　(7.1.2)
　　将f (0) = 1代入式(7.1.2)， 有C = 1， 故所求曲线方程为y = x3 + 1.
　　例7.1.2 (自由落体运动)设质量为m的物体， 只受重力的作用， 在距地面s0处， 以初速度v0下落， 求下落距离s(t)(坐标向上为正)随时间t的变化规律.
　　解 由牛顿第二定律， 该问题归结为求满足下列方程
　　(7.1.3)
　　以及条件的函数s(t)(g为重力加速度).
　　对式(7.1.3)两端积分得
　　(7.1.4)
　　再对式(7.1.4)两端积分得
　　(7.1.5)
　　式中: C1、C2为任意常数.
　　将条件代入式(7.1.4)得C1 = v0， 将条件s|t = 0 = s0代入式(7.1.5)得C2 = s0. 故
　　(7.1.6)
　　以上两个例题中的式(7.1.1)、式(7.1.3)都含有未知函数的导数， 它们都是微分方程.
　　定义7.1.1 (微分方程)表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程， 称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程， 称为常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程， 称为偏微分方程. 本书只研究常微分方程.
　　微分方程中所含未知函数导数的*高阶数称为微分方程的阶. 例如， 方程y′= 3x2是一阶微分方程; 方程s″(t) = g是二阶微分方程. 又如
　　y(n) + 1 = 0
　　是n阶微分方程.
　　一般n阶微分方程的形式是
　　(7.1.7)
　　这里F(x， y， y′， ， y(n))表示含x， y， y′， ， y(n)的一个数学表达式， 而且一定含有y(n)， 其他量x， y， y′， ， y(n-1)可以不出现.
　　若能从式(7.1.7)中解出*高阶导数， 则可得微分方程
　　(7.1.8)
　　在研究某些实际问题时， 先要建立微分方程， 然后求出未知函数， 即求微分方程的解.
　　定义7.1.2 设函数f = f (x)在区间I上有n阶连续导数， 若在区间I上， 有
　　则函数f = f (x)称为微分方程F(x， y， y′， ， y(n)) = 0在区间I上的解. 例如， 式(7.1.5)和式(7.1.6)是微分方程式(7.1.3)的解， y = x3 + C和y = x3 + 1都是满足式(7.1.1)的解.
　　定义 7.1.3 如果微分方程的解中含有任意常数， 且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 这样的解称为微分方程的通解. 例如， 式(7.1.2)、式(7.1.5)分别是微分方程式(7.1.1)和式(7.1.3)的通解. 微分方程的通解所确定的曲线， 称为方程的积分曲线簇.
　　往往要求方程的解满足某些特定条件， 如例7.1.1和例7.1.2中的条件. 通过这些条件， 可以确定通解中的任意常数.
　　定义7.1.4 对于n阶微分方程式(7.1.8)， 给出条件， 当x = x0时，
　　(7.1.9)
　　式中: y0， y1， ， yn-1是给定的n个常数. 称式(7.1.9)为n阶微分方程式(7.1.8)的初始条件， 将求微分方程式(7.1.8)满足初始条件式(7.1.9)的求解问题称为初值问题.
　　定义7.1.5 微分方程式(7.1.8)的解中不含任何的任意常数， 则称该解为微分方程(7.18)的特解. 也就是利用初始条件， 确定通解中的任意常数后， 就得到了微分方程的特解. 例如， 函数y = x3 + 1是式(7.1.1)满足初始条件的特解; 式(7.1.6)是式(7.1.3)满足初始条件的特解.
　　例7.1.3 验证函数y = C1e-x + C2e4x是微分方程
　　(7.1.10)
　　的解.
　　证 求函数的一阶导数和二阶导数:
　　将y、y′、y″代入式(7.1.10)， 有
　　满足该方程. 故函数y = C1e-x + C2e4x是式(7.1.10)的解.
　　例7.1.4 已知y = C1e-x + C2e4x是式(7.1.10)的通解， 求满足y|x = 0 = 0， y′|x = 0 = 5的特解.
　　解 将y|x - 0 = 0代入y = C1e-x + C2e4x， 得
　　(7.1.11)
　　将y′|x = 0 = -5代入y′=-C1e-x + 4C2e4x， 得
　　(7.1.12)
　　联立式(7.1.11)、式(7.1.12)， 解得C1 = 1， C2 =-1. 故所求方程的特解为 y = e-x-e4x.
　　例7.1.5 求y = C1x + C2e2x(C1、C2为任意常数)所满足的阶数*低的微分方程.
　　解 将原方程两边分别求一阶导数和二阶导数， 得
　　由 ， 消去C1、C2， 得所求微分方程为
　　注意 若将y″= 4C2e2x两边求导得， 由此消去C2得微分方程， 这也是原曲线族所满足的微分方程. 但是满足条件的阶数*低的微分方程.
　　习题7.1
　　1. 验证下列各函数是否为所给微分方程的解.
　　(1) y = 3sinx-4cosx， y″ + y = 0;
　　(2) y = 5x2， xy′= 2y.
　　2. 在下列各题中确定函数式中所含参数， 使函数满足所给的初始条件.
　　(1) x2-y2 = C， y|x = 0 = 5;
　　(2) .
　　3. 求以y = C1e2x + C2e3x为通解的微分方程.
　　4. 曲线上点P(x， y)处的法线与x轴的交点为Q， 且线段PQ被y轴平分， 写出该曲线满足的微分方程.
　　5. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比， 与温度的平方成反比.
　　7.2 一阶微分方程及其解法
　　一阶微分方程的一般形式为F(x， y， y′) = 0. 在一定条件下， F(x， y， y′) = 0可写成y′= f (x， y)或M(x， y)dx + N(x， y)dy = 0.

目录
第7章 常微分方程 1
7.1 微分方程的基本概念 1
习题7.1 3
7.2 一阶微分方程及其解法 3
7.2.1 可分离变量的微分方程 4
7.2.2 齐次方程 7
7.2.3 一阶线性微分方程 8
*7.2.4 伯努利方程 11
习题7.2 14
7.3 可降阶的高阶微分方程 15
7.3.1 y(n) = f (x)型的微分方程 15
7.3.2 y″= f (x， y′)型的微分方程 16
7.3.3 y″= f (y， y′)型的微分方程 17
习题7.3 19
7.4 高阶线性微分方程解的结构 20
7.4.1 函数组的线性相关与线性无关 20
7.4.2 齐次线性微分方程解的结构 21
7.4.3 非齐次线性微分方程解的结构 22
习题7.4 23
7.5 常系数齐次线性微分方程 23
7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 23
7.5.2 n阶常系数齐次线性微分方程 26
习题7.5 28
7.6 常系数非齐次线性微分方程 28
7.6.1 f (x) = Pm(x)eλx型 29
7.6.2 f (x) = eλx[Pl(x)cos ωx + (x)sin ωx]型 30
习题7.6 32
*7.7 差分方程 33
7.7.1 差分的定义 33
7.7.2 差分方程的概念 35
7.7.3 常系数线性差分方程的解 36
习题7.7 44
数学家简介7 45
总习题7 46
第8章 空间解析几何与向量代数 49
8.1 向量及其线性运算 49
8.1.1 空间直角坐标系 49
8.1.2 向量概念 50
8.1.3 向量的线性运算 51
8.1.4 向量的模、方向角、投影 54
习题8.1 55
8.2 数量积与向量积 56
8.2.1 两向量的数量积 56
8.2.2 两向量的向量积 58
*8.2.3 向量的混合积 60
习题8.2 61
8.3 平面及其方程 61
8.3.1 曲面方程与空间曲线的方程的概念 61
8.3.2 平面的点法式方程 62
8.3.3 平面的一般方程 63
8.3.4 两平面的夹角 64
8.3.5 点到平面的距离 65
习题8.3 65
8.4 空间直线及其方程 66
8.4.1 空间直线的一般方程 66
8.4.2 空间直线的点向式方程与参数方程 66
8.4.3 两直线的夹角 67
8.4.4 直线与平面的夹角 68
习题8.4 70
8.5 曲面及其方程 71
8.5.1 球面方程 71
8.5.2 旋转曲面 72
8.5.3 柱面 73
8.5.4 二次曲面 75
习题8.5 78
8.6 空间曲线及其方程 79
8.6.1 空间曲线的一般方程 79
8.6.2 空间曲线的参数方程 80
8.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 81
习题8.6 82
数学家简介8 83
总习题8 84
第9章 多元函数微分学及其应用 85
9.1 多元函数的基本概念 85
9.1.1 平面点集与n维空间 85
9.1.2 多元函数的概念 87
9.1.3 二元函数的极限 89
9.1.4 二元函数的连续性 91
习题9.1 92
9.2 偏导数 93
9.2.1 偏导数的概念及几何意义 93
9.2.2 高阶偏导数 96
习题9.2 98
9.3 全微分及其应用 99
9.3.1 全微分的概念 99
9.3.2 全微分在近似计算中的应用 102
习题9.3 103
9.4 多元复合函数的求导法则及全微分形式不变性 103
9.4.1 多元复合函数的求导法则 103
9.4.2 全微分形式不变性 107
习题9.4 108
9.5 隐函数的求导法则 109
9.5.1 一个方程确定的隐函数的情形 109
9.5.2 方程组确定的隐函数(组)的情形 112
习题9.5 115
9.6 多元函数微分学的几何应用 116
9.6.1 向量值函数的概念 116
9.6.2 空间曲线的切线与法平面 117
9.6.3 曲面的切平面与法线 119
习题9.6 121
9.7 方向导数与梯度 122
9.7.1 方向导数 122
9.7.2 梯度 124
9.7.3 方向导数和梯度向量的关系 125
9.7.4 梯度的几何意义 127
习题9.7 127
9.8 多元函数的极值及其求法 128
9.8.1 多元函数的极值 128
9.8.2 *大值与*小值问题 130
9.8.3 多元函数的条件极值 131
习题9.8 133
数学家简介9 134
总习题9 134
第10章 重积分 137
10.1 二重积分的概念与性质 137
10.1.1 二重积分的概念 137
10.1.2 二重积分的性质 139
习题10.1 141
10.2 二重积分的计算法 142
10.2.1 利用直角坐标计算二重积分 142
10.2.2 利用极坐标计算二重积分 146
习题10.2 149
10.3 三重积分 150
10.3.1 三重积分的概念 150
10.3.2 三重积分的计算 151
习题10.3 157
10.4 重积分的应用 158
10.4.1 曲面的面积 159
10.4.2 平面薄片与物质的质心 161
10.4.3 平面薄片的转动惯量 163
10.4.4 引力 164
习题10.4 165
数学家简介10 166
总习题10 167
第11章 曲线积分与曲面积分 169
11.1 对弧长的曲线积分 169
11.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 169
11.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 170
习题11.1 173
11.2 对坐标的曲线积分 174
11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 174
11.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 176
11.2.3 两类曲线积分的关系 177
习题11.2 179
11.3 格林公式及其应用 179
11.3.1 格林公式的概念 179
11.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 183
11.3.3 二元函数的全微分求积 185
习题11.3 186
11.4 对面积的曲面积分 187
11.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 187
11.4.2 对面积的曲面积分的计算法 188
习题11.4 190
11.5 对坐标的曲面积分 190
11.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 190
11.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 193
11.5.3 两类曲面积分间的关系 195
习题11.5 197
11.6 高斯公式和*通量与散度 198
11.6.1 高斯公式 198
*11.6.2 通量与散度 200
习题11.6 201
11.7 斯托克斯公式和*环流量与旋度 202
11.7.1 斯托克斯公式 202
*11.7.2 环流量与旋度 204
习题11.7 205
数学家简介11 205
总习题11 206
第12章 无穷级数 209
12.1 常数项级数的概念与性质 209
12.1.1 常数项级数的概念 209
12.1.2 收敛级数的基本性质 212
习题12.1 213
12.2 常数项级数的审敛法 214
12.2.1 正项级数及其审敛法 214
12.2.2 交错级数及其审敛法 219
12.2.3 绝对收敛与条件收敛 221
习题12.2 222
12.3 幂级数 223
12.3.1 函数项级数的概念 223
12.3.2 幂级数及其收敛性 224
12.3.3 幂级数的运算 228
习题12.3 230
12.4 函数展开成幂级数及其应用 231
12.4.1 函数展开成幂级数 231
12.4.2 函数展开成幂级数的应用 237
习题12.4 240
12.5 傅里叶级数 240
12.5.1 问题的提出 241
12.5.2 三角级数、三角函数系的正交性 242
12.5.3 函数展开成傅里叶级数 243
习题12.5 248
12.6 周期函数的傅里叶级数 248
12.6.1 奇函数、偶函数的傅里叶级数 248
12.6.2 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 251
习题12.6 254
数学家简介12 254
总习题12 255
参考文献 258
习题答案与提示 259