郭园园，中国科学院自然科学史研究所（IHNS CAS）副研究员。2013年毕业于上海交通大学，获科学技术史专业理学博士学位。主要从事数学史研究、数学教育和数学科普工作。近年来出版的学术著作有《代数溯源——花拉子密<代数学>研究》（专著，科学出版社，2020）、《西去东来——沿丝绸之路数学知识的传播与交流》（合著，江苏人民出版社，2018）、《阿尔·卡西代数学研究》（专著，上海交通大学出版社，2017）、《东方数学选粹——埃及、美索不达米亚、中国、印度与伊斯兰》（合译，上海交通大学出版社，2016）。另翻译出版“魔力数学”（知识产权出版社，2020）、《让孩子尖叫的STEAM实验室·数学》（接力出版社，2020）、《计算利息、地球运动速度和蛋糕的黄金比例》（接力出版社，2018）等多部少儿科普作品，发表论文数篇。

第一次数学危机

希帕索斯从几何上发现了无理数的存在，这对数学的发展及至人类文明做出了重大贡献，理应受到赞赏与奖励。但是由于毕达哥拉斯学派的信条“万物皆数”只承认整数和分数，除此之外，他们不知道也不承认别的数，希帕索斯因此被本学派学员投海，葬身鱼腹！

约公元前400年的这一发现，迫使毕达哥拉斯学派放弃他们“万物皆数”的基本哲学信仰，并且使得希腊数学家们发展一些新的理论，这就是第一次数学危机！

相似形理论

在《原本》第Ⅴ卷中，欧几里得集中研究了比例的基本概念，但这是关于连续量的比例论。这个理论的成功之处在于，它避开了无理数，建立了可公度与不可公度的正确比例理论，从而顺利建立了第Ⅵ卷中相似形的理论，并用它证明了命题VI.1：等高的三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比。进而证明了相似形的命题VI.2：如果一条直线平行于三角形的一边，则它截三角形的两边成比例线段；又，如果三角形的两边被截成比例线段，则截点的连线平行于三角形的另一边。

“数”和“量”的比例论

直至第Ⅶ卷，欧几里得才开始研究数（即离散数量）的比例论，尽管在现代数学中很容易把“量”归入到“数”中，但当时在欧几里得看来，“量”和“数”是两个完全不同的概念，所以必须分别来进行研究。这种分别定义“量”和“数”的比例论的做法，被认为是欧几里得最重要的成就之一。让我们先来看一下第Ⅴ卷的几个重要的定义：

定义3：两个同类量彼此之间的一种大小关系叫作。

定义4：把一个量几倍以后能大于另外一个量时，则说这两个量彼此之间。

定义6：有相同比的四个量叫作成比例的量。

以上这些定义全部是早于欧几里得的欧多克索斯所给出的，《原本》出现后，人们将关于比的理论称为欧几里得比例论。欧多克索斯的年代，人们对数域概念的认识是模糊的，他极力避免和无理数接触。欧几里得也同样如此，他并没有把几何量和数建立起相对应的关系，因此无法把量转化为数，所以只能分开讨论。

四个数成比例

欧几里得在《原本》第Ⅶ卷定义20中指出：

当第一数是第二数的某倍、某一部分或某几部分，与第三数是第四数的同一倍、同一部分或相同的几部分，称这四个数是成比例的。

接下来，欧几里得在命题VII.19中指出：

如果四个数成比例，则第一个数和第四个数相乘所得的数等于第二个数和第三个数相乘所得的数；又如果第一个数和第四个数相乘所得的数等于第二个数和第三个数相乘所得的数，则这四个数成比例。

此外，欧几里得在《原本》第Ⅴ卷和第Ⅶ卷中均指出，如果四个量或四个数成比例，则它们的更比例、反比例、合比例、分比例、换比例都成立，即：

更比例：如果 a:b=c:d，则 a:c=b:d。 

反比例：如果 a:b=c:d，则 b:a=d:c。 

合比例：如果 a:b=c:d，则 (a+b):b=(c+d ):d。 

分比例：如果 a:b=c:d，则 (a-b):b=(c-d ):d。 

换比例：如果 a:b=c:d，则 a:(a-b)=d:(c-d)。

这些都是我们在初等数学中比较常见的内容。

事实上，除了希腊文明以外，在古代中国、印度和阿拉伯文献中，都有关于四项比例关系的记载。文艺复兴后，这一法则经由阿拉伯传入欧洲。由于其方法简单易行，颇受商业界欢迎，被当时的欧洲人誉为“黄金法则”。