第1章绪论
1.1脉冲系统概述
混杂系统是一种可以同时表征连续时间系统和离散时间系统典型特性的动态系统。早在20世纪60年代和80年代，文献[1]，[2]便开展了混杂系统的相关研究工作。近三十年来，众多学者致力于混杂系统的研究，获得一些具有代表性的理论结果[3～9]。在许多实际系统和自然过程中，我们经常会观察到一些特殊的混杂现象，例如生物学中的突触信息传递、预防医学中的流行病防控、经济学中的*优控制模型，以及宇航学中的航天器相对运动等。上述模型与行为的特点是系统状态在离散时刻发生瞬时变化，其动态演化过程可用脉冲系统来描述。一般来说，脉冲系统由三个主要部分组成[6]，即一个常微分方程（决定系统在脉冲时刻间的连续演化过程)、一个差分方程（决定系统状态在脉冲时刻瞬时变化的方式）、一个脉冲策略（决定脉冲发生的时间）。20世纪80年代，Lakshmikantham等系统总结了脉冲系统（脉冲微分方程）的相关数学理论，包括存在性和连续性定理、解的渐近特性和Lyapunov稳定理论等，并完成极具影响力的代表性专著[3]。随着脉冲系统相关理论的不断完备与进步，脉冲系统为一些具有混杂行为的实际系统的建模与分析提供了很好的理论框架，因此受到科学和工程领域的持续关注[4，6，9～11]。此外，脉冲系统不仅是脉冲控制理论的基础，还在其他现代控制理论的重要分支领域有重要的应用，如网络化控制系统[12～14]、采样控制[15，16]、状态估计[17，18]、安全通信[19～22]等。
一般来说，关于脉冲系统动力学的研究可以分为两类，即脉冲干扰问题和脉冲控制问题。在没有脉冲的情况下，一个给定的系统具有某些性能，如周期解、吸引子、稳定和有界等，而当系统受到瞬时干扰时能够维持其原有相关性能，这种现象一般被认为是脉冲干扰问题。粗略地说，脉冲干扰问题可以被认为是一类受不连续干扰影响的系统鲁棒性问题。许多文献[23～31]报道了关于脉冲干扰问题的相关工作。假如一个给定的系统在没有脉冲的情况下不具备某种性能，但它可以通过一个可容许的脉冲控制实现这种性能，此情况可视为脉冲控制问题。事实上，作为一种典型的不连续控制方法，脉冲控制只需要离散时刻的控制信号就可以使受控系统实现预期的性能。脉冲控制已被广泛应用于众多领域，如电气工程[4]、核自旋发电机[32，33]、航空航天工程[34，35]、种群管理[14，36]等。自1999年Yang系统总结了多种脉冲控制方法[4]之后，一大批数学领域和自动化领域的学者就致力于推动脉冲系统与脉冲控制理论的进步和发展，并结合工业工程的实际需求陆续提出和设计了各种各样有着*特优越性的脉冲控制策略[4，36～58]。例如，文献[38]研究两阶段脉冲控制，文献[39]，[46]研究分布式脉冲控制，文献[40]～[43]研究牵制脉冲控制，文献[52]，[54]，[55]研究事件触发脉冲控制，文献[56]研究基于观测器的脉冲控制，文献[45]，[50]研究脉冲时间窗口，文献[47]，[48]，[51]，[57]，[58]研究延迟脉冲控制等。总而言之，从脉冲效应的角度来看，脉冲干扰问题研究的脉冲实际上是一类破坏性脉冲，它会潜在地破坏系统的稳定性；脉冲控制问题研究的脉冲是一类镇定性脉冲，常常有益于系统的稳定性。除此之外，既受到脉冲控制又受到脉冲干扰的系统，如商品存售模型[59，60]、网络化控制系统[59]等，其稳定性分析与控制器设计等问题会变得更为棘手，也更值得探讨。此类问题常称为混杂脉冲问题或多脉冲问题，逐渐成为新的研究热点和前沿问题。
1.2有限时间稳定研究现状
系统的稳定性分析与控制器设计问题一直是控制理论中的重要研究课题。基于传统的稳定性概念，目前针对连续或不连续系统的研究结果大多属于Lyapunov意义下的无限渐近范畴。近年来，随着工业技术的不断发展，无限时域系统的稳定性与控制问题面临越来越多的挑战。一方面，由于传统的Lyapunov稳定描述的是系统在无限时域上的稳态性能，并不能体现系统在有限时域的暂态性能。另一方面，目前大部分Lyapunov意义下的稳定性与镇定性只能保证系统渐近或指数收敛，这极大限制了系统获得更好的动态响应与稳态性能。因此，有限时间稳定与有限时间控制器设计的提出和发展日益成为国内外自动控制领域的研究热点。在有限时间框架下，传统的Lyapunov稳定带来的两个悬而未决的问题，相应地延伸出两类理论研究工作。一类是侧重于系统的有限时间有界，使对于给定的有界初始状态，在固定的有限时间区间内，系统的状态变量轨迹不会超过指定的界限，可简单地概括为有限时域暂态性能。本书将此类有限时间有界称为有限时间稳定I。另一类是在保证系统Lyapunov稳定的前提下，实现系统状态变量轨迹在有限时间内收敛到平衡状态。此类研究侧重于系统的有限时间稳定，以及相应的停息时间估计，以保证系统产生快速的收敛性能。此类有限时间稳定可简单地概括为无限时域稳态性能。本书将此类有限时间稳定称为有限时间稳定II。
1.有限时间稳定I
针对系统的有限时间稳定I（或有限时间有界）的研究起始于20世纪60年代。1961年，Dorato提出短时间稳定（short-time stability)概念，也就是后来所谓的有限时间稳定概念，并对线性时变系统的有限时间控制问题进行了分析研究[61～63]。随后，许多专家学者对于这类有限时间稳定进行了推广和分析[64～68]。其中，Weiss等[65]提出有限时间压缩稳定概念。这一概念的提出，为有限时间稳定的发展奠定了基础，但是这些结果大都难以计算。随着线性矩阵不等式（linear mat rix inequality，LMI)理论的出现和发展，这一问题才得到解决。1997～2007年，Drato和Amato等将LMI技术应用于有限时间控制问题[69～72]，成功解决了有限时间稳定分析、有限时间镇定性及相关控制器设计等问题，使这一控制理念更加适应工程实际需求。与此同时，国内许多专家学者对于有限时间稳定I也做了大量研究，文献[73]研究Markovian系统的随机有限时间稳定；文献[74]，[75]给出一种迭代的有限时间控制设计方法，得到连续但非光滑的时不变有限时间反馈控制器；文献[76]通过研究切换神经网络的有限时间镇定问题，设计状态反馈控制器；文献[77]研究采样脉冲系统的有限时间稳定，提出基于平均脉冲间隔的脉冲控制策略，增加脉冲信号的鲁棒性；文献[78]分别从镇定性脉冲和破坏性脉冲两种角度给出延迟脉冲系统的有限时间稳定，并且讨论延迟对于稳定性的影响。
与传统的Lyapunov渐近稳定概念相比，本书研究的有限时间稳定I与其具有根本区别。
（1)有限时间稳定I只在有限时间区间内分析系统的性能。因此，要研究一个系统是否为有限时间稳定的，需要预先给出要考察的时间区间和终端时域，而Lyapunov渐近稳定考虑的是系统状态在无穷时域的性能。
（2)有限时间稳定I对系统初始条件有具体预设要求，而Lyapunov渐近稳定并没有对初始条件做具体约束。
（3)有限时间稳定I主要关注系统状态在预设有限时间内的定量性分析，即要求系统状态轨线保持在预先给定的阈值内，而Lyapunov渐近稳定则要求系统状态渐近收敛于平衡状态（对状态轨迹不设上界约束）。
综上所述，上述两种稳定性概念是相互*立的。具体来说，对于一个有限时间稳定的系统，当系统轨迹超过预设有限时间区间时，系统状态可能会发生震荡，甚至发散；对于一个Lyapunov渐近稳定的系统，系统状态可能在一段特定的时间区间内超过某一阈值，使系统不满足有限时间稳定I的要求。因此，相比于Lyapunov渐近稳定的研究，对有限时间框架下系统的暂态性能分析和控制器设计，更具有理论意义和实际价值，如导弹和卫星系统控制[61]、飞行控制[68]等。
2.有限时间稳定与停息时间估计
针对系统有限时间稳定的研究，*早可以追溯到20世纪60年代的*短时间控制问题[79]。对于闭环系统，当系统具有Lipschitz连续性时，*快将渐近收敛到平衡状态，但是系统究竟何时到达平衡状态仍然未知。因此，只有当系统动态非Lipschitz连续时，才可能实现有限时间稳定。同时，由于有限时间收敛意味着系统不再具有（后向)唯一解，这也说明有限时间稳定的系统必然是非Lipschitz连续的。20世纪90年代末，连续系统的有限时间理论取得突破性成果，主要源于两个关键性理论成果的提出，即有限时间齐次理论[80]和有限时间Lyapunov理论[81]。
1)有限时间齐次理论
Bhat等[80]*次建立有限时间稳定与系统齐次度之间的关联，证明了渐近稳定且具有负齐次度的系统必是有限时间稳定的。在此基础上，文献[82]研究基于有限时间观测器的二阶系统的有限时间控制器设计。由于早期的有限时间齐次性理论只适合简单的齐次系统，针对非齐次系统，文献[83]提出有限时间齐次扩展定理，其主要思想是将一类非齐次系统分为齐次项与非齐次项，在保证齐次项有限时间稳定的基础上，若非齐次项渐近稳定且满足一定的约束条件，则可以实现整个非齐次系统的有限时间稳定。有限时间齐次性理论可以判别系统状态是否在有限时间内到达平衡状态，但是无法对系统有限停息时间的上界进行估计。对此，文献[84]～[86]建立了有限时间齐次理论与有限时间Lyapunov理论之间的联系，得到齐次反推定理，用于齐次系统停息时间的估计。
2)有限时间Lyapunov理论
Bhat、Moulay、Haddad、Feng、Li、Huang、Efimov等[81，87～94]相继发表连续系统有限时间Lyapunov理论的研究结果。文献[88]通过构造有限时间Lyapunov函数，系统研究自治系统的有限时间稳定，并估计了系统停息时间的上界，阐明系统停息时间函数的若干性质。有限时间Lyapunov理论研究方法的核心思想是，通过约束系统的Lyapunov函数V满足形如 cV.的不等式来保证系统的有限时间稳定。针对具有外部输入的连续系统，文献[91]提出有限时间输入-状态稳定的概念，研究外部输入影响下系统的有限时间稳定。针对不连续系统，现有的有限时间稳定方面的理论研究相对较少。文献[88]将有限时间Lyapunov理论推广到脉冲系统，并给出脉冲系统的有限时间稳定的判定定理，设计脉冲系统的有限时间控制器。其研究思路主要是通过连续流的有限时间稳定保证系统在有限时间内到达平衡状态，但是脉冲对系统停息时间的影响并没有被体现出来。对此，文献[92]从脉冲控制和脉冲干扰两个角度分别建立脉冲系统的有限时间稳定的Lyapunov结果，充分探讨了脉冲对系统有限时间稳定的影响，并证明由于脉冲效应的影响，系统停息时间的估计不仅依赖初始状态，同时依赖脉冲信号的分布。基于有限时间Lyapunov理论，文献[93]研究不同情况下的有限时间控制问题，在飞行器的位置与姿态控制、机械臂的有限时间控制、欠驱动机器人运动控制、多智能体协同控制等方面有广泛的应用。
1.3本书内容
本书主要讨论脉冲系统的有限时间稳定与控制。全书分为6章，其主要内容如下。
第1章*先简略介绍脉冲系统的发展历程与关键问题，然后重点介绍两类有限时间稳定及相关问题的研究现状。
第2章重温一些定义和基本理论。其中包括脉冲系统解的概念、能控性和能观性。除此之外，还为后继章节介绍主要数学工具，如Lyapunov函数、Dini导数、微分和积分不等式、LMI等。
第3章主要研究脉冲系统的有限时间稳定I。*先，针对脉冲中存在延迟信息的非线性脉冲系统，从镇定性脉冲和破坏性脉冲两个角度得到有限时间稳定的相关准则。然后，将理论结果应用到神经网络的状态估计问题。*后，考虑一类脉冲切换系统，通过设计模块依赖的动态输出反馈控制器，分别基于事件触发脉冲控制和时间触发脉冲控制给出脉冲切换系统的有
展开
